[论文解读] Conformal invariance and the Lundgren-Monin-Novikov equations for vorticity fields in 2D turbulence: Refuting a recent claim

Michael Frewer, George Khujadze|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2018

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文反驳了Grebenev等人（2017年）关于无粘性二维Lundgren-Monin-Novikov（LMN）方程在经典李群对称分析下表现出局部共形不变性的近期主张。作者表明，所声称的共形对称性源于LMN系统中一个关键约束的错误变换，当该变换被更正后，局部共形不变性被破坏，对称性仅保留在全局标度对称性上，从而否定了原始结论。

ABSTRACT

The recent claim by Grebenev et al. [J. Phys. A: Math. Theor. 50, 435502 (2017)] that the inviscid 2D Lundgren-Monin-Novikov (LMN) equations on a zero vorticity characteristic naturally would reveal local conformal invariance when only analyzing these by means of a classical Lie-group symmetry approach, is invalid and will be refuted in the present comment. To note is that within this comment the (possible) existence of conformal invariance in 2D turbulence is not questioned, only the conclusion as is given in Grebenev et al. (2017) and their approach how this invariance was derived is what is being criticized and refuted herein. In fact, the algebraic derivation for conformal invariance of the 2D LMN vorticity equations in Grebenev et al. (2017) is flawed. A key constraint of the LMN equations has been wrongly transformed. Providing the correct transformation instead will lead to a breaking of the proclaimed conformal group. The corrected version of Grebenev et al. (2017) just leads to a globally constant scaling in the fields and not to a local one as claimed. In consequence, since in Grebenev et al. (2017) only the first equation within the infinite and unclosed LMN chain is considered, also different Lie-group infinitesimals for the one- and two-point probability density functions (PDFs) will result from this correction, replacing thus the misleading ones proposed.

研究动机与目标

• 挑战Grebenev等人（2017年）声称无粘性二维LMN方程在经典李群对称分析下具有局部共形不变性的主张。
• 识别并纠正LMN系统中关键约束变换中的代数错误，该错误导致了共形不变性的错误结论。
• 通过使用更正后的约束重新评估李群对称性分析，阐明二维LMN方程的真实对称性结构。
• 证明经更正后的系统仅允许全局标度对称性，而非局部共形不变性，从而否定原始结论。

提出的方法

• 对未闭合的二维LMN涡度方程链中的第一个方程，进行李群对称方法的详细重新分析。
• 识别Grebenev等人（2017年）在变换LMN系统中归一化约束时的错误，该错误错误地保持了共形对称性。
• 对约束应用正确的变换，表明其破坏了局部共形不变性并减小了对称群。
• 使用更正后的约束重新推导无穷小李对称性，得到的对称代数不再包含局部共形变换。
• 证明经更正后的系统仅在场中允许全局标度对称性，而非局部共形不变性。
• 将更正后的单点和双点PDF的无穷小量与Grebenev等人（2017年）提出的值进行比较，揭示原始推导中的不一致之处。

实验结果

研究问题

• RQ1 无粘性二维Lundgren-Monin-Novikov方程系统是否如Grebenev等人（2017年）所声称的那样，在经典李群对称分析下表现出局部共形不变性？
• RQ2 LMN系统中归一化约束的正确变换是什么？它如何影响所得的对称代数？
• RQ3 为何Grebenev等人（2017年）的原始推导错误地在LMN方程中识别出局部共形不变性？
• RQ4 在修正了错误变换后，二维LMN方程的真实对称性结构是什么？
• RQ5 在更正后的约束下，单点和双点PDF的无穷小对称性是否与Grebenev等人（2017年）所声称的不同？如果不同，有何差异？

主要发现

• Grebenev等人（2017年）所声称的二维LMN方程中存在局部共形不变性，由于关键归一化约束变换的错误而无效。
• 对约束变换的更正破坏了局部共形对称性，使对称群仅保留在场的全局标度对称性上。
• 经更正后的系统不再包含完整的共形代数；相反，仅支持全局标度不变性。
• 在更正约束下，单点和双点PDF的无穷小李对称性与原始推导中的结果不同，从而否定了原始的对称性假设。
• 原始推导依赖于错误的变换，导致关于二维湍流中共形不变性的误导性结论。