[论文解读] Conformal nets III: fusion of defects

Arthur Bartels, Christopher L. Douglas+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2013

Advanced Topics in Algebra参考文献 25被引用 8

一句话总结

本文为共形场论的数学模型——共形网中的缺陷建立了融合运算，证明了在有限指标条件下，两个缺陷的融合结果仍是缺陷。关键技术成果是真空 sector 的水平融合与融合缺陷的真空 sector 之间的同构，该同构使得交换同构（interchange isomorphism）得以构造，从而构成了共形网、缺陷、sector 与互变算子的 3-范畴的基础结构。

ABSTRACT

Conformal nets provides a mathematical model for conformal field theory. We define a notion of defect between conformal nets, formalizing the idea of an interaction between two conformal field theories. We introduce an operation of fusion of defects, and prove that the fusion of two defects is again a defect, provided the fusion occurs over a conformal net of finite index. There is a notion of sector (or bimodule) between two defects, and operations of horizontal and vertical fusion of such sectors. Our most difficult technical result is that the horizontal fusion of the vacuum sectors of two defects is isomorphic to the vacuum sector of the fused defect. Equipped with this isomorphism, we construct the basic interchange isomorphism between the horizontal fusion of two vertical fusions and the vertical fusion of two horizontal fusions of sectors.

研究动机与目标

• 定义并形式化共形网之间缺陷的概念，作为相互作用共形场论的界面。
• 在有限指标条件下，引入保持共形网结构的缺陷融合运算。
• 将 sector（广义表示）的概念扩展至缺陷，并在它们之上定义水平与垂直融合运算。
• 证明融合缺陷的真空 sector 与两个原始缺陷真空 sector 的水平融合之间存在同构。
• 构造水平与垂直融合 sector 之间的交换同构，从而完成共形场论数据的 3-范畴结构。

提出的方法

• 使用双色区间与圆周定义共形网之间的缺陷，其在希尔伯特空间与冯诺依曼代数上具有相容作用。
• 引入缺陷的范畴 CN1，并通过在具有有限指标的公共共形网上粘合来建立复合运算。
• 将缺陷之间的 sector 定义为具有缺陷代数相容作用的希尔伯特空间，形成范畴 CN2。
• 构造 1⊠1-同构，证明融合缺陷的真空 sector 与真空 sector 水平融合之间存在自然同构。
• 利用 Haag 对偶性与 Connes 融合分析融合缺陷代数的结构，证明其半单性与因子性质。
• 通过结合单位元与 1⊠1-同构，构造交换同构，确保 3-范畴结构的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，两个共形网之间缺陷的融合结果仍是缺陷？
• RQ2 融合缺陷的真空 sector 是否与两个原始缺陷真空 sector 的水平融合之间存在自然同构？
• RQ3 sector 的水平与垂直融合运算之间如何相互作用？是否存在一个自然的交换同构？
• RQ4 融合缺陷代数的代数结构是什么？它是否满足 Haag 对偶性？
• RQ5 该融合过程能否被推广为一个完整的共形网、缺陷、sector 与互变算子的 3-范畴？

主要发现

• 在有限指标共形网上，两个缺陷的融合结果是良好定义的缺陷，从而在缺陷范畴中形成了封闭运算。
• 融合缺陷的真空 sector 通过 1⊠1-同构，与两个原始缺陷真空 sector 的水平融合之间存在自然同构。
• 融合缺陷代数是半单的，并满足 Haag 对偶性，其双桥代数为因子。
• 融合缺陷中 Haag 包含与桥接包含的维数，以原始网的最小指标表示。
• 构造了 sector 水平与垂直融合之间的交换同构，并证明其为同构，从而完成关键的一致性条件。
• 与缺陷融合相关的环形希尔伯特空间同构于所有不可约 sector 上，其与自身对偶的张量积的直和，与有限指标共形网中的已知结果一致。