[论文解读] Internal bicategories

Christopher L. Douglas, André Henriques|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用 9

一句话总结

本文引入了内部双范畴——在2-范畴内定义的双范畴——提供了一个编码对称单峰3-范畴的框架，特别适用于几何与代数结构（如 bordism 3-范畴和共形网络）。主要贡献是系统地从内部双范畴构造三范畴，给出明确公理，并提出一种递归的图示演算方法，可预测更高阶内部弱范畴的公理数量。

ABSTRACT

We define bicategories internal to 2-categories. When the ambient 2-category is symmetric monoidal categories, this provides a convenient framework for encoding the structures of a symmetric monoidal 3-category. This framework is well suited to examples arising in geometry and algebra, such as the 3-category of bordisms or the 3-category of conformal nets.

研究动机与目标

• 形式化一个框架，通过在对称单峰2-范畴的2-范畴中定义双范畴，来编码对称单峰3-范畴。
• 解决几何与代数中出现的高阶范畴结构（如bordism 3-范畴和共形网络）缺乏系统形式化的问题。
• 定义并分析2-范畴中的内部双范畴、双范畴和2-范畴，建立弱化层次结构。
• 在CAT中从内部双范畴构造三范畴，表明CAT中的双范畴会导出底层三范畴。
• 提供一个完整、以图示编码的内部双范畴公理系统，并通过递归方法计算公理数量。

提出的方法

• 在2-范畴中定义内部范畴，并扩展至3-范畴中的内部范畴作为基础。
• 引入三种弱化层次：2-范畴（严格结合律与单位律）、双范畴（严格结合律）和双范畴（弱结合律与单位律），均内置于2-范畴中。
• 使用图示演算，其中每个图表示一个数据片段或一个公理，复杂度由对单元的操作定义（例如，用1-细胞替换0-细胞）。
• 根据其在层次结构中的位置为图示符号分配权重：0-细胞为2，1-细胞为1，0-细胞为0，并通过递推关系计算数量。
• 通过递推关系 C(k) = Σ N(i)C(k−i)，其中 N(k) 为第k个斐波那契数，推导出3-公理的数量为46。
• 通过检查底层三范畴的0-数据的结构映射的函子性与自然性，验证内部双范畴的公理成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地使用内部高阶范畴来编码几何与代数中出现的对称单峰3-范畴？
• RQ2 在对称单峰2-范畴中定义的双范畴的精确结构是什么？它与bordism等已知3-范畴实例（如bordism和共形网络）有何关系？
• RQ3 内部2-范畴、双范畴和双范畴之间在层次结构上如何关联？其相关结构的函子性如何？
• RQ4 能否使用CAT中的内部双范畴来构造三范畴？在此构造中，纤维性条件起什么作用？
• RQ5 内部双范畴的完整公理系统是什么？其公理数量能否通过递归组合方法预测？

主要发现

• 本文从CAT中的内部双范畴构造出三范畴，表明CAT中的双范畴具有底层三范畴，这是关键的结构结果。
• 内部双范畴的3-公理数量恰好为46，通过涉及斐波那契数和图示复杂度的递推关系计算得出。
• 递归图示演算为每个数据和公理分配唯一的复杂度与权重，实现了对所有组件的完整且系统的枚举。
• 该框架成功将bordism的3-范畴和共形网络的3-范畴建模为对称单峰2-范畴中的内部双范畴。
• 三范畴的构造不依赖于双范畴对象的纤维性条件，仅依赖于0-数据和基本函子性。
• 该方法预测：内部在1-范畴中的三范畴满足74个公理，内部在3-范畴中的三范畴满足725个公理，展示了其可扩展性。