[论文解读] Congruences involving the reciprocals of central binomial coefficients

Roberto Tauraso|ArXiv.org|Jun 28, 2009

Advanced Mathematical Identities参考文献 7被引用 5

一句话总结

本文建立了关于素数 $ p $ 的高次幂的同余式，涉及中心二项式系数倒数之和，将其与多重调和和及伯努利数联系起来。证明了 $ \sum_{k=1}^{p-1} \frac{(-1)^k}{k^3} \binom{2k}{k}^{-1} \equiv -\frac{2}{5} \frac{H(1)}{p^2} \pmod{p^3} $ 与 $ \sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k^2} \binom{2k}{k}^{-1} \equiv \frac{1}{3} \frac{H(1)}{p} \pmod{p^3} $，其中 $ H(1) = \sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k} $，扩展了阿佩里对 $ \zeta(3) $ 和 $ \zeta(2) $ 的工作。

ABSTRACT

We present several congruences modulo a power of prime $p$ concerning sums of the following type $\sum_{k=1}^{p-1}{m^k\over k^r}{2k\choose k}^{-1}$ which reveal some interesting connections with the analogous infinite series.

研究动机与目标

• 在素数 $ p > 5 $ 的条件下，建立形如 $ \sum_{k=1}^{p-1} \frac{m^k}{k^r} \binom{2k}{k}^{-1} $ 的和模 $ p^3 $ 或更高次幂的新同余式。
• 将阿佩里关于 $ \zeta(2) $ 和 $ \zeta(3) $ 的恒等式推广为模素数幂的有限类比。
• 将中心二项系数倒数的有限和与多重调和和及伯努利数联系起来。
• 证明涉及 $ \binom{2k}{k}^{-1} $ 与 $ \binom{2k}{k} $ 的和之间的对偶关系，揭示更深层的算术结构。

提出的方法

• 利用欧拉定理与法尔哈贝公式，将调和和 $ H(r) = \sum_{k=1}^{p-1} k^{-r} $ 模 $ p^5 $ 表示为伯努利数的形式。
• 应用引理 2.2，将二项式系数 $ \binom{n}{k} $ 与 $ \binom{n+k-1}{k} $ 展开为多重调和和的级数。
• 应用已知的模 $ p^3 $ 或 $ p^4 $ 的多重调和和 $ H(a_1,\dots,a_r) $ 同余式，特别是 $ H(1) \equiv -\frac{1}{2}p H(2) \pmod{p^4} $。
• 利用 Hernández 与 Staver 的恒等式，将倒数二项式系数之和与调和和关联，并推导关键同余式。
• 利用恒等式 $ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} \binom{2k}{k}^{-1} = -\frac{2}{3} \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k^2} - \frac{(-1)^n}{3} \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k^2} \binom{n+k}{k}^{-1} \binom{n}{k}^{-1} $，将有限和化为调和和表达式。
• 利用恒等式 $ \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k^3} \binom{2k}{k}^{-1} = -\frac{2}{5} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^3} + \frac{1}{5} \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k^3} \binom{n+k}{k}^{-1} \binom{n}{k}^{-1} $ 推导立方和的 $ p $-进展开。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于素数 $ p > 5 $，形如 $ \sum_{k=1}^{p-1} \frac{(-1)^k}{k^3} \binom{2k}{k}^{-1} $ 的和在模 $ p^3 $ 下的行为如何？
• RQ2 阿佩里恒等式 $ \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k^3} \binom{2k}{k}^{-1} = -\frac{2}{5} \zeta(3) $ 在 $ p $-进设置下的有限类比是什么？
• RQ3 涉及 $ \binom{2k}{k}^{-1} $ 与 $ \binom{2k}{k} $ 的和之间的对偶性是否能通过调和和恒等式系统性地解释？
• RQ4 多重调和和 $ H(1,2) $、$ H(2,1) $ 与 $ H(1,3) $ 在这些倒数二项式系数的 $ p $-进展开中起什么作用？
• RQ5 关于 $ \sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k^2} \binom{2k}{k}^{-1} $ 与 $ \sum_{k=1}^{p-1} \frac{(-1)^k}{k^2} \binom{2k}{k} $ 的同余式如何与沃尔斯滕霍尔姆定理及伯努利数相关？

主要发现

• 对于任意素数 $ p > 5 $，有 $ \sum_{k=1}^{p-1} \frac{(-1)^k}{k^3} \binom{2k}{k}^{-1} \equiv -\frac{2}{5} \frac{H(1)}{p^2} \pmod{p^3} $，其中 $ H(1) = \sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k} $。
• 和 $ \sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k^2} \binom{2k}{k}^{-1} \equiv \frac{1}{3} \frac{H(1)}{p} \pmod{p^3} $，确认了经典恒等式 $ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} \binom{2k}{k}^{-1} = \frac{1}{3} \zeta(2) $ 的有限版本。
• 对偶和 $ \sum_{k=1}^{p-1} \frac{(-1)^k}{k^2} \binom{2k}{k} \equiv \frac{4}{5} \left( \frac{H(1)}{p} + 2p H(3) \right) \pmod{p^4} $，其中 $ H(3) = \sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k^3} $。
• 和 $ \sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k} \binom{2k}{k} \equiv -\frac{8}{3} H(1) \pmod{p^4} $，扩展了已知同余式，并证实了与倒数情形的对偶性。
• 建立了同余式 $ H(1,2) \equiv -H(2,1) \equiv -3 \frac{H(1)}{p^2} \pmod{p^2} $，对模 $ p^2 $ 下多重调和和的早期结果进行了改进。
• 利用调和和恒等式与伯努利数关系，证明了展开式 $ \frac{1}{2} \binom{2p}{p} \equiv 1 + 2p H(1) + \frac{2}{3} p^3 H(3) \pmod{p^6} $。