[论文解读] Conjugacy classes of involutions and Kazhdan-Lusztig cells

Cédric Bonnafé, Meinolf Geck|arXiv (Cornell University)|May 18, 2012

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 32被引用 3

一句话总结

本文研究了有限 Coxeter 群中对合的共轭类与 Kazhdan-Lusztig 单元之间的关系，证明了在光滑双侧单元或经典类型（Bn, Dn）下常数权函数的情形中，任一双侧单元内的所有对合都彼此共轭。该工作证实了经典类型下的 Kottwitz 猜想，并表明对合的共轭类与左单元的交集由特征标内积决定，仅 E8 仍为未解之 case。

ABSTRACT

According to an old result of Sch\"utzenberger, the involutions in a given two-sided cell of the symmetric group $\SG_n$ are all conjugate. In this paper, we study possible generalisations of this property to other types of Coxeter groups. We show that Sch\"utzenberger's result is a special case of a general result on "smooth" two-sided cells. Furthermore, we consider Kottwitz' conjecture concerning the intersections of conjugacy classes of involutions with the left cells in a finite Coxeter group. Our methods lead to a proof of this conjecture for classical types; combined with previous work, this leaves type $E_8$ as the only remaining open case.

研究动机与目标

• 将 Schützenberger 关于对合在对称群中双侧单元内共轭性的结果推广至其他 Coxeter 群。
• 研究 Kottwitz 在有限 Coxeter 群中关于对合共轭类与左单元交集的猜想。
• 确定在何种条件下，有限 Coxeter 群中双侧单元内的所有对合彼此共轭，特别是针对光滑单元或常数权函数的情形。
• 为经典类型（Bn, Dn）提供 Kottwitz 猜想的完整证明，将剩余未解 case 降至 E8。

提出的方法

• 使用 Hecke 代数框架，通过标准基 (Tw)w∈W 和权函数 ϕ: S → Γ>0 定义 Kazhdan-Lusztig 单元。
• 应用 ∑w∈C Tw 在 Hecke 代数中的中心性，其中 C 为对合共轭类的任意并集。
• 采用特征标理论方法，包括诱导特征标与不可约特征标的内积，以分析单元交集。
• 借助光滑双侧单元的理论——即与单个不可约特征标相关的单元——证明对合的共轭性。
• 通过归纳法并利用 Wn 分解为 W′n × H2 的方式，分析 Dn 型中的特征标与共轭类。
• 应用 Frobenius 同伦性与特征标延拓（包括在图自同构下的扭曲形式），将单元特征标与共轭类交集关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，有限 Coxeter 群中双侧单元内的所有对合彼此共轭？
• RQ2 Kottwitz 猜想——即对合共轭类与左单元交集的大小由特征标内积决定——在经典类型中是否成立？
• RQ3 Schützenberger 关于 Sn 中 Duflo 对合共轭性的结果能否推广至 A 型以外的其他 Coxeter 群？
• RQ4 在所有有限 Coxeter 群中，C2(C) = C2(C′) 对于同一双侧单元中的左单元 C, C′ 是否普遍成立？
• RQ5 Kottwitz 猜想在 E8 型中的状态如何，为何其为唯一剩余的未解 case？

主要发现

• 对于具有常数权函数的有限 Coxeter 群，若双侧单元为光滑单元，则其中所有对合彼此共轭，推广了 Schützenberger 在 Sn 中的结果。
• Kottwitz 猜想在所有经典类型 Bn 和 Dn 中成立，通过直接计算特征标内积与单元分解得以证明。
• 在 Dn 型中当 n 为偶数时，σ0,n/2 的共轭类 C′0 与光滑双侧单元中的每个左单元恰好相交于一个元素，即 |C′0 ∩ C| = 1。
• 与 C′0 相关的特征标 ρC′0 满足 〈ρC′0, [C]〉W′n = |C′0 ∩ C| 对任意左单元 C ⊆ C+α 成立，从而在该情形下证明了 Kottwitz 猜想。
• Kottwitz 猜想的唯一剩余未解 case 是 E8 型，因为所有其他经典类型有限 Coxeter 群均已解决。
• 该证明依赖于 Hecke 代数中 ∑w∈C Tw 的中心性（其中 C 为对合共轭类的任意并集），这是关键的技术工具。