[论文解读] Connecting Knowledge Compilation Classes and Width Parameters

Antoine Amarilli, Florent Capelli+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 24被引用 10

一句话总结

该论文建立了知识编译类与布尔电路结构宽度参数之间的紧密联系，表明有界树宽电路可在与树宽单指数依赖的线性时间内编译为d-SDNNF，有界路径宽电路可在相同复杂度下编译为uOBDD。论文还证明了匹配的下界：常数阶与常数度的单调DNF与CNF在树宽与路径宽上分别需要指数级大小的d-SDNNF与uOBDD，从而表明这些宽度参数精确刻画了向这些类编译的可编译性。

ABSTRACT

The field of knowledge compilation establishes the tractability of many tasks by studying how to compile them to Boolean circuit classes obeying some requirements such as structuredness, decomposability, and determinism. However, in other settings such as intensional query evaluation on databases, we obtain Boolean circuits that satisfy some width bounds, e.g., they have bounded treewidth or pathwidth. In this work, we give a systematic picture of many circuit classes considered in knowledge compilation and show how they can be systematically connected to width measures, through upper and lower bounds. Our upper bounds show that bounded-treewidth circuits can be constructively converted to d-SDNNFs, in time linear in the circuit size and singly exponential in the treewidth; and that bounded-pathwidth circuits can similarly be converted to uOBDDs. We show matching lower bounds on the compilation of monotone DNF or CNF formulas to structured targets, assuming a constant bound on the arity (size of clauses) and degree (number of occurrences of each variable): any d-SDNNF (resp., SDNNF) for such a DNF (resp., CNF) must be of exponential size in its treewidth, and the same holds for uOBDDs (resp., n-OBDDs) when considering pathwidth. Unlike most previous work, our bounds apply to any formula of this class, not just a well-chosen family. Hence, we show that pathwidth and treewidth respectively characterize the efficiency of compiling monotone DNFs to uOBDDs and d-SDNNFs with compilation being singly exponential in the corresponding width parameter. We also show that our lower bounds on CNFs extend to unstructured compilation targets, with an exponential lower bound in the treewidth (resp., pathwidth) when compiling monotone CNFs of constant arity and degree to DNNFs (resp., nFBDDs).

研究动机与目标

• 系统地关联知识编译类与如树宽和路径宽等结构宽度度量。
• 弥合知识编译与基于宽度的电路类之间的差距，后者在数据库查询评估和概率推理中被使用。
• 表明树宽与路径宽不仅是可 tractable 的参数，而且对于将单调DNF与CNF编译为结构化目标而言也是最优的。
• 建立编译复杂度的紧致上下界，表明在常数阶与常数度假设下，对宽度的指数依赖是不可避免的。
• 将这些结果扩展到无结构编译目标如DNNF与nFBDD，证明类似的指数下界。

提出的方法

• 提出对12种知识编译类的系统分类，沿三个轴展开：合取类型（BDD与电路）、结构化程度（结构化与无结构）、确定性（确定性与非歧义或任意析取）。
• 提出一种构造性编译方法，将有界树宽电路在与电路大小线性相关、与树宽单指数相关的复杂度下转换为d-SDNNF。
• 将类似编译技术应用于将有界路径宽电路转换为uOBDD，复杂度界限相同。
• 基于迹分解与门分裂的矩形覆盖论证，推导出编译表示大小的下界。
• 引入基于树宽的treesplitwidth参数，用于识别DNNF与OBDD电路迹中的关键门，从而推导出指数级下界。
• 应用概率方法与矩形覆盖的组合界，表明所需矩形数量随宽度参数呈指数增长，从而得出电路大小的指数级下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 有界树宽电路能否在与电路大小线性相关、与树宽单指数相关的复杂度下编译为d-SDNNF？
• RQ2 在常数阶与常数度假设下，将单调DNF编译为d-SDNNF时，对树宽的指数依赖是否不可避免？
• RQ3 路径宽与树宽是否分别精确刻画了单调DNF与CNF在uOBDD与d-SDNNF中的大小？
• RQ4 相同的下界技术能否扩展到无结构编译目标如DNNF与nFBDD？
• RQ5 是否存在一个宽度参数，能捕捉将DNF编译为无结构d-DNNF的最小复杂度，超越树宽？

主要发现

• 有界树宽电路可在与电路大小线性相关、与树宽单指数相关的复杂度下编译为d-SDNNF，建立了紧致上界。
• 有界路径宽电路可在与电路大小线性相关、与路径宽单指数相关的复杂度下编译为uOBDD。
• 任何用于常数阶与常数度单调DNF（或CNF）的d-SDNNF（或SDNNF）的大小至少为2^Ω(tw(φ))（或2^Ω(pw(φ))），证明了匹配的下界。
• 对于单调DNF（或CNF）的编译，uOBDD（或n-OBDD）也存在相同的指数下界，前提是常数阶与常数度。
• 对于无结构目标，DNNF与nFBDD在常数阶与常数度的单调CNF上也分别需要与树宽和路径宽呈指数关系的大小。
• 这些下界通过基于treesplitwidth与满足赋值的概率界所构建的矩形覆盖论证建立，表明任何此类表示都必须呈指数级大小。