[论文解读] Connectivity and choosability of graphs with no $K_t$ minor

Sergey Norin, Luke Postle|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2020

Advanced Graph Theory Research参考文献 16被引用 8

一句话总结

本文证明了任意不含 $K_t$ 小型图的图均为 $O(t(\log t)^\beta)$-list-colorable（对任意 $\beta > \frac{1}{4}$），将此前关于色数的界推广至列表染色。关键创新在于提出了高度连通的不含 $K_t$ 小型图图的顶点数的新上界，该结果通过结构分解与列表染色论证得以实现。

ABSTRACT

In 1943, Hadwiger conjectured that every graph with no $K_t$ minor is $(t-1)$-colorable for every $t\ge 1$. While Hadwiger's conjecture does not hold for list-coloring, the linear weakening is conjectured to be true. In the 1980s, Kostochka and Thomason independently proved that every graph with no $K_t$ minor has average degree $O(t\sqrt{\log t})$ and thus is $O(t\sqrt{\log t})$-list-colorable. Recently, the authors and Song proved that every graph with no $K_t$ minor is $O(t(\log t)^β)$-colorable for every $β> \frac 1 4$. Here, we build on that result to show that every graph with no $K_t$ minor is $O(t(\log t)^β)$-list-colorable for every $β> \frac 1 4$. Our main new tool is an upper bound on the number of vertices in highly connected $K_t$-minor-free graphs: We prove that for every $β> \frac 1 4$, every $Ω(t(\log t)^β)$-connected graph with no $K_t$ minor has $O(t (\log t)^{7/4})$ vertices.

研究动机与目标

• 将不含 $K_t$ 小型图图的 $O(t(\log t)^\beta)$-可染色性界推广至列表染色，以解决 Hadwiger 猜想的一个弱化形式。
• 建立不含 $K_t$ 小型图图在高连通性下的顶点数的紧致上界，具体为当连通度为 $\Omega(t(\log t)^\beta)$ 时，顶点数为 $O(t(\log t)^{3-5\beta+\delta})$。
• 解决 Kawarabayashi 与 Mohar 所提出的开放问题：线性 Hadwiger 猜想在列表染色下是否成立。
• 提供一种结构工具——通过在非对称二分图上建立新的密度界——以支持主结果的证明。

提出的方法

• 引入不含 $K_t$ 小型图的非对称二分图密度的新上界，将定理 1.3 推广至非对称情形。
• 利用该密度界推导出定理 1.7，该定理将高连通性不含 $K_t$ 小型图图的顶点数限制为 $O(t(\log t)^{3-5\beta+\delta})$，其中连通度为 $\Omega(t(\log t)^\beta)$。
• 通过在顶点数上使用归纳法，结合极小反例论证与列表赋值，将结构结果应用于证明定理 1.6。
• 构造一个极小顶点集 $X$，其补边界较小且大小有界，然后证明 $X$ 诱导的子图在 $d = \lceil Ct(\log t)^\beta \rceil$ 下仍为 $d$-列表可染色。
• 利用推论 7.2 找到一个子集 $X$，满足 $|X| \leq t(\log t)^{3-5\beta+\delta}$ 且补边界大小不超过 $Ct(\log t)^{\beta}$，从而支持归纳染色。
• 利用对小图列表色数的已知界（推论 6.3），确保在移除 $X$ 外部邻居的约束后，$G[X]$ 仍存在有效的 $L'$-染色。

实验结果

研究问题

• RQ1 不含 $K_t$ 小型图图的 $O(t(\log t)^\beta)$-可染色性界是否可推广至所有 $\beta > \frac{1}{4}$ 的列表染色？
• RQ2 当 $\beta > \frac{1}{4}$ 时，连通度为 $\Omega(t(\log t)^\beta)$ 的不含 $K_t$ 小型图图最多有多少个顶点？
• RQ3 对高度连通的不含 $K_t$ 小型图图的结构界是否能带来改进的列表染色结果？
• RQ4 对于不含 $K_t$ 小型图图的列表染色，$O(t(\log t)^\beta)$ 的界是否紧致？
• RQ5 基于顶点划分与补边界控制的策略能否被扩展，以在连通度低于 $t(\log t)^{1/4}$ 时获得更优界？

主要发现

• 任意不含 $K_t$ 小型图的图均为 $O(t(\log t)^\beta)$-列表可染色的（对任意 $\beta > \frac{1}{4}$），证实了 Kawarabayashi 与 Mohar 的一个猜想。
• 对任意 $\beta > \frac{1}{4}$ 与 $\delta > 0$，每个 $Ct(\log t)^\beta$-连通的不含 $K_t$ 小型图图的顶点数至多为 $t(\log t)^{3-5\beta+\delta}$。
• 通过第 5 节中的随机构造下界，证明了该顶点数界在常数因子意义下是紧致的。
• 定理 1.7 中的结构结果优于 Böhme 等人先前的界，其提供了显式的、亚指数级的顶点数上界，且不依赖图的极小化结构定理。
• 该证明策略成功地将基于退化性的染色论证扩展至列表染色，通过结合顶点划分与列表赋值约化实现。
• 该结果意味着线性 Hadwiger 猜想在渐近意义下对列表染色成立，且相比 $O(t\sqrt{\log t})$ 的界，实现了对数多项式因子的改进。