[论文解读] Constructible functions and Lagrangian cycles on orbifolds

Davesh Maulik, David Treumann|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文通过利用余层理论在构造函数与拉格朗日循环之间建立对应关系，将Kashiwara的指标公式推广至光滑轨道丛。证明了在紧致轨道丛上，构造函数的加权欧拉特征等于其特征循环与余切丛中零截面的交数，将Behrend定理由流形推广至轨道丛情形，并在唐纳森-托马斯理论中实现应用。

ABSTRACT

On a smooth manifold M, the Kashiwara index formula expresses the weighted Euler characteristic of a constructible function in terms of its characteristic cycle. We generalize this formula to the case when M is a smooth orbifold, answering a question of Behrend.

研究动机与目标

• 将Kashiwara的指标公式从光滑流形推广至光滑轨道丛，回应Behrend提出的问题。
• 通过Borel-Moore同调与紧支集循环，解决轨道丛欧拉特征可能为有理数而非整数值的微妙问题。
• 通过轨道丛上的子解析层上的余层理论，建立构造函数与拉格朗日循环的局部到整体框架。
• 证明在紧致轨道丛上，构造函数的加权欧拉特征等于其特征循环与零截面的交数。
• 将结果应用于代数几何中的对称障碍理论，特别是在卡拉比-丘三流形的唐纳森-托马斯不变量背景下。

提出的方法

• 利用子解析格罗滕迪克层上的余层理论，处理构造函数与拉格朗日循环的局部到整体行为。
• 将具有紧支集的构造函数与具有紧水平支集的拉格朗日循环定义为余层，以克服非紧支集函数的问题。
• 在局部应用经典指标公式，并通过余层上同调与下降技术将其推广至整体。
• 通过准有限态射映射到可表示空间，引入轨道丛上构造函数与拉格朗日循环的代数余层。
• 利用商叠上代数构造函数与代数拉格朗日循环之间的同构，将全局结构与轨道丛设定联系起来。
• 在对称障碍理论背景下，应用余切丛中与零截面的精细交数，以计算虚拟基本类。

实验结果

研究问题

• RQ1 Kashiwara的指标公式（将构造函数的加权欧拉特征与特征循环对零截面的交数关联）能否推广至光滑轨道丛？
• RQ2 在轨道丛设定下，欧拉特征应如何理解，考虑到其可能取有理数值而非整数值？
• RQ3 在轨道丛上定义构造函数与拉格朗日循环的正确框架是什么，以保持局部到整体的性质？
• RQ4 如何定义轨道丛上构造函数的特征循环，并将其与欧拉积分关联？
• RQ5 该轨道丛指标公式能否用于计算非平凡轨道丛几何下唐纳森-托马斯理论中虚拟基本类的次数？

主要发现

• 轨道丛指标公式成立：对于紧致轨道丛，构造函数的加权欧拉特征等于其特征循环与余切丛中零截面的交数。
• 在紧致轨道丛上，构造函数的特征循环在Borel-Moore同调中良定义，且属于具有紧水平支集的锥形拉格朗日循环群。
• 从代数构造函数到轨道丛上全局构造函数的拉回映射是同构，使得局部代数构造可全局延拓。
• 轨道丛上代数拉格朗日循环群同构于具有紧水平支集的全局拉格朗日循环群。
• 该公式可推广至对称障碍理论：对于具有对称完美障碍理论的紧致Deligne-Mumford叠，虚拟基本类的次数等于Behrend函数的加权欧拉特征。
• 该结果使得在轨道丛设定下（如三流形上关于除子的层）计算唐纳森-托马斯不变量成为可能，且无需全局商或光滑性假设。