[论文解读] Constructing special Lagrangian m-folds in C^m by evolving quadrics

Dominic Joyce|ArXiv.org|Aug 21, 2000

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文通过求解满足一阶非线性常微分方程的单参数线性或仿射映射族，演化 ℝ^m 中的非退化二次曲面，构造了 ℂ^m 中显式的特殊拉格朗日子流形 m-流形。关键贡献在于提出了一种新方法，可生成大量特殊拉格朗日子流形，包括 S^a × S^b × S^1 上的锥（其中 a+b=m−2），并为 m=3 的情形提供了显式参数化，其中许多是 ℂ³ 中新的 SL T²-锥的示例。

ABSTRACT

This is the second in a series of papers constructing explicit examples of special Lagrangian submanifolds in C^m. The first paper was math.DG/0008021, which studied special Lagrangian m-folds with large symmetry groups. The third is math.DG/0010036, which uses ideas from this paper to construct families of special Lagrangian 3-folds in C^3. This paper describes a construction of special Lagrangian m-folds in C^m which are fibred by (m-1)-submanifolds which are quadrics in Lagrangian planes R^m in C^m. Generically they have only discrete symmetry groups. Some of our examples have been previously constructed by Lawlor and Harvey, using different methods. The principal motivation for these papers is to lay the foundations for the study of singularities of compact special Lagrangian m-folds in Calabi-Yau m-folds. Understanding such singularities will be important in resolving the SYZ conjecture on Mirror Symmetry of Calabi-Yau 3-folds. The special Lagrangian m-folds in C^m we construct here include many cones on S^a x S^b x S^1 for a+b=m-2, which are local models for singularities of special Lagrangian m-folds in Calabi-Yau m-folds.

研究动机与目标

• 通过演化二次曲面开发一种在 ℂ^m 中构造特殊拉格朗日子流形 m-流形的一般方法。
• 提供特殊拉格朗日子流形的显式示例，特别是球面积的锥，作为卡拉比–丘流形奇点的局部模型。
• 将已知的特殊拉格朗日子流形类扩展至具有较小全局对称性群的情形，包括 ℂ³ 中的新示例。
• 建立演化流为周期性时的条件，从而得到紧致或闭合的特殊拉格朗日子流形。
• 在 m=3 的情形下，通过 ℂℙ^m 中的调和环面将构造与可积系统联系起来。

提出的方法

• 通过单参数族线性或仿射映射 φ_t: ℝ^n → ℂ^m 演化 ℝ^n 中的 (m−1) 维子流形 P。
• 映射 φ_t 满足由特殊拉格朗日条件导出的一阶非线性常微分方程。
• 在主要情形中，P 是 ℝ^m 中的非退化二次曲面（如椭球面、双曲面、抛物面），演化由复值函数 w₁、w₂ 和 β 上的常微分方程组控制。
• 线性版本通过线性映射演化中心化的二次曲面（如椭球面）；仿射版本通过仿射映射演化非中心化的二次曲面（如抛物面）。
• 所得子流形 N ⊂ ℂ^m 是 P 在流 φ_t 下的像，当常微分方程组一致求解时，其为特殊拉格朗日子流形。
• 当 m=3 时，常微分方程组可约化为可解系统，从而得到 ℂ³ 中特殊拉格朗日 3-流形的显式参数化，包括 S^a × S^b × S^1 上的锥。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过单参数族线性或仿射映射演化 ℝ^m 中的二次曲面，系统地构造 ℂ^m 中的特殊拉格朗日子流形 m-流形？
• RQ2 在何种条件下，演化流会产生闭合或周期性的子流形，特别是球面积的锥？
• RQ3 所得特殊拉格朗日子流形的拓扑与几何结构如何，特别是在 m=3 的情形下？
• RQ4 这些构造如何与可积系统及复射影空间中的调和环面相关联？
• RQ5 是否存在此前未知的 ℂ³ 中特殊拉格朗日 3-流形示例，特别是 SL T²-锥？

主要发现

• 本文通过演化二次曲面构造了 ℂ^m 中大量特殊拉格朗日子流形，首次实现了通过仿射映射对非中心化二次曲面（如抛物面）的构造。
• 当 m=3 时，推导出特殊拉格朗日 3-流形的显式参数化，包括 S^a × S^b × S^1 上的锥（其中 a+b=1），从而得到 ℂ³ 中新的 SL T²-锥示例。
• 当演化流为周期性时，所得特殊拉格朗日子流形为紧致且嵌入的，其拓扑结构为 ℝ^m 或更复杂的结构，具体取决于初始数据。
• 该构造产生仅具有有限全局对称性群的示例，与早期基于大全局对称性群的构造形成对比。
• 在 m=3 的情形下，常微分方程的解被显式求解，给出了 N 关于复参数 C、D 和实参数 x₁、x₂、t 的参数表达式。
• 该构造恢复了已知示例（如 Lawlor–Harvey 锥），但也产生了新示例，特别是在 Im(C𝒟̄) ≠ 0 或 |C| ≠ |D| 时，导致 ℂ³ 中非平面的、嵌入的 SL 3-流形。