[论文解读] Constructing Sublinear Expectations on Path Space

Marcel Nutz, Ramon van Handel|RePEc: Research Papers in Economics|May 11, 2012

Bayesian Modeling and Causal Inference被引用 5

一句话总结

本文通过基于可测概率测度族的新型聚合方法，在连续路径空间上构建了时间一致的次线性期望。它证明了对博雷尔可测的随机变量，其条件G-期望的存在性——此前未解决的问题——并揭示此类条件期望未必是博雷尔可测的，从而揭示了基于聚合构造的固有局限性。

ABSTRACT

We provide a general construction of time-consistent sublinear expectations on the space of continuous paths. It yields the existence of the conditional G-expectation of a Borel-measurable (rather than quasi-continuous) random variable, a generalization of the random G-expectation, and an optional sampling theorem that holds without exceptional set. Our results also shed light on the inherent limitations to constructing sublinear expectations through aggregation.

研究动机与目标

• 解决在次线性期望背景下，对博雷尔可测随机变量构造条件G-期望这一长期悬而未决的开放问题。
• 在连续路径空间上建立次线性期望的时间一致性与塔性质。
• 阐明基于聚合的条件期望构造在次线性期望理论中的固有局限性。
• 证明博雷尔可测随机变量的条件期望可能并非博雷尔可测，即使在忽略极零集之后亦如此。

提出的方法

• 在假设2.1下，定义一组概率测度族 𝒫(τ,ω)，表示在停止时间τ之后的条件分布，满足可测性、不变性以及路径粘贴稳定性。
• 通过 𝒞τ(ξ)(ω) := sup_{P∈𝒫(τ,ω)} E^P[ξ^{τ,ω}] 构造条件期望，其中 ξ^{τ,ω} 是ξ在τ处的路径式粘贴。
• 利用经典解析集理论证明 𝒞τ(ξ) 是上半解析集（因此是普遍可测的），即使ξ是博雷尔可测的。
• 证明所构造的条件期望满足塔性质以及对所有 P ∈ 𝒫 的聚合条件 (1.2)。
• 将一般构造应用于G-期望与随机G-期望，表明其可将已知结果扩展至准连续函数之外。
• 在ZFC中使用集合论构造，证明某些条件期望即使在输入有界且博雷尔可测时，也无法是博雷尔的。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为博雷尔可测的随机变量而非仅准连续函数，构造条件G-期望？
• RQ2 是否可能为路径空间上的次线性期望定义一个满足塔性质的时间一致条件期望？
• RQ3 通过在非支配测度族上逐点取上确界来聚合条件期望，其根本局限性是什么？
• RQ4 博雷尔可测随机变量的条件期望是否可能并非博雷尔可测，即使在忽略极零集之后？
• RQ5 在何种集合论假设下，条件期望的聚合问题无解？

主要发现

• 任意博雷尔可测随机变量的条件G-期望存在且为普遍可测，但未必是博雷尔可测的。
• 所构造的条件期望满足塔性质以及对所有 P ∈ 𝒫 的聚合条件 (1.2)，从而确保了时间一致性。
• 存在一个有界博雷尔可测的随机变量 ξ，使得 𝒞₁(ξ) 的任何聚合问题解均非博雷尔。
• 在合适的ZFC模型中，存在一个有界博雷尔可测的ξ，使得 𝒞₁(−𝒞₂(ξ)) 的聚合问题无解，即使 𝒞₂(ξ) 是普遍可测的。
• 某个特定解析集在实直线上的投影是勒贝格不可测的，若假设存在博雷尔解于聚合问题，则将导致矛盾。
• 结果表明，通过逐点上确界聚合条件期望的经典方法，一般无法得到博雷尔可测的解，即使在规则的G-期望设定下亦如此。