[论文解读] Constructive discrepancy minimization for convex sets

Thomas Rothvoß|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2014

Mathematical Approximation and Integration参考文献 15被引用 7

一句话总结

该论文提出了一种简单、随机化的多项式时间算法，可构造性地找到一个对称凸集 $ K \subseteq \mathbb{R}^n $ 中的点，其高斯测度至少为 $ e^{-n/500} $，且至少有 $ n/9000 $ 个坐标属于 $ \{\pm 1\} $。该方法通过将一个随机高斯向量投影到 $ K \cap [-1,1]^n $ 上实现，首次给出了斯宾塞定理的构造性证明，并为格鲁斯金和吉亚诺普洛斯结果提供了新的构造性方法，适用于超出多面体的一般凸集。

ABSTRACT

A classical theorem of Spencer shows that any set system with n sets and n elements admits a coloring of discrepancy O(n^1/2). Recent exciting work of Bansal, Lovett and Meka shows that such colorings can be found in polynomial time. In fact, the Lovett-Meka algorithm finds a half integral point in any "large enough" polytope. However, their algorithm crucially relies on the facet structure and does not apply to general convex sets. We show that for any symmetric convex set K with measure at least exp(-n/500), the following algorithm finds a point y in K \cap [-1,1]^n with Omega(n) coordinates in {-1,+1}: (1) take a random Gaussian vector x; (2) compute the point y in K \cap [-1,1]^n that is closest to x. (3) return y. This provides another truly constructive proof of Spencer's theorem and the first constructive proof of a Theorem of Gluskin and Giannopoulos.

研究动机与目标

• 提供斯宾塞不协调性定理的构造性证明，该定理此前依赖于非构造性的鸽巢原理论证。
• 将构造性不协调性最小化方法从多面体推广到一般对称凸集，克服了以往算法（如洛瓦特-梅卡算法）依赖面结构的局限性。
• 首次给出格鲁斯金和吉亚诺普洛斯关于对称凸体中部分颜色分配的定理的构造性证明。
• 开发一种仅需 $ K $ 的分离 oracle 即可工作的算法，使其适用于一大类凸集。

提出的方法

• 采样一个随机高斯向量 $ x^* \sim \mathcal{N}(0, I_n) $。
• 计算点 $ y^* = \arg\min_{y \in K \cap [-1,1]^n} \|x^* - y\|_2 $，即 $ K $ 与超立方体交集中的最近点。
• 返回 $ y^* $，其以高概率具有 $ \Omega(n) $ 个坐标在 $ \{\pm 1\} $ 中。
• 利用高斯测度估计和测度集中性来界定 $ y^* $ 拥有大量 $ \pm 1 $ 分量的概率。
• 利用 $ K $ 的对称性和凸性，确保投影能保持足够的结构以实现不协调性控制。
• 通过子空间投影实施维数约化论证，将结果推广至具有足够测度的一般凸体。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为一般对称凸集（而不仅是多面体）设计一种构造性算法来实现不协调性最小化？
• RQ2 能否用一种随机化、多项式时间的算法替代斯宾塞定理和格鲁斯金定理中使用的非构造性鸽巢原理论证？
• RQ3 当 $ K $ 具有较大的高斯测度时，将一个随机高斯向量投影到 $ K \cap [-1,1]^n $ 上，是否能产生一个具有大量 $ \pm 1 $ 坐标的点？
• RQ4 能否通过几何概率方法将洛瓦特-梅卡算法的框架推广到多面体集之外？

主要发现

• 只要 $ K $ 是对称的且高斯测度至少为 $ e^{-n/500} $，该算法就能返回一个点 $ y \in K \cap [-1,1]^n $，其至少有 $ n/9000 $ 个坐标属于 $ \{\pm 1\} $。
• 该方法是构造性的，运行时间在多项式时间内，仅需 $ K $ 的分离 oracle，而无需完整的面描述。
• 该方法首次给出了斯宾塞定理的构造性证明，该定理此前依赖于非构造性的鸽巢原理论证。
• 该方法可推广至向量平衡问题：对于满足 $ \|v_i\|_2 \leq 1/40 $ 的向量 $ v_i \in \mathbb{R}^n $，可找到一个部分颜色分配，使得 $ \Omega(m) $ 个分量在 $ \{\pm 1\} $ 中，且 $ \sum y_i v_i \in K $。
• 即使 $ K $ 经过缩放或投影到子空间中，只要高斯测度条件保持不变，结果依然成立。
• 分析利用了高斯测度的集中性与旋转不变性，以界定在投影中获得大量 $ \pm 1 $ 坐标的概率。