[论文解读] Contact spectral invariants and persistence

Maia Fraser|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2015

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文通过将基于生成函数的容量解释为持久同调类在持久性模上的持久性，建立了接触谱不变量与持久同调之间的联系。它引入了一种 ${\mathbb{Z}}_k$-等变接触容量，证明了透镜空间的序化性，提供了一种与接触同调和等变生成函数同调现有结果一致的持久同调新视角。

ABSTRACT

This sketch shows that the usual generating function based capacities have an interpretation in the language of persistent homology as persistences of certain homology classes in the persistence module formed by the corresponding generating function homology groups. This viewpoint suggests various new invariants, in particular a $\mathbb{Z}_k$-equivariant capacity which can be used to prove orderability of lens spaces, proved by Milin (2008) using contact homology and by Sandon (2010) using equivariant generating function homology. These are informal notes originally circulated in January 2014.

研究动机与目标

• 将基于生成函数的标准辛和接触容量解释为持久同调语言中的内容。
• 通过持久同调引入一种新的 ${\mathbb{Z}}_k$-等变接触容量作为不变量。
• 证明该等变容量可用于证明透镜空间的序化性，与接触同调和等变GF同调的现有结果一致。
• 统一生成函数容量与持久同调的框架，特别是在等变设置下。
• 通过持久性模为工具，在拓扑数据分析与接触/辛几何之间建立概念性桥梁。

提出的方法

• 本文从向量丛 $E$ 上的生成函数 $S$ 的子水平集构造持久性模 $V_a = H_p(E, E^a)$，其中 $E^a = \{S \leq a\}$，$E$ 覆盖 $M = S^{2n}$ 或 $S^{2n} \times S^1$。
• 它将谱不变量 $c(\phi)$ 定义为类 $\eta = \theta(\mu) \in H_p(E, E^{-\infty})$ 的持久性，其中 $\theta$ 是 Thom 同构，$\mu$ 是底流形的定向类。
• 对于 ${\mathbb{Z}}_k$-等变情形，它利用等变同调群 $G_{{\mathbb{Z}}_k,p}^{(a,\infty]}(\phi)$ 构造持久性模 $W_a(\phi)$，形成由包含映射诱导的向量空间滤子族。
• 它证明了定义为生成元 $\eta^p$ 持久性的 ${\mathbb{Z}}_k$-等变容量 $c^p_{{\mathbb{Z}}_k}(\phi)$ 具有共轭不变性与单调性。
• 它利用 Sando 的 $W_a$ 在临界值处的计算结果，证明当 $p = 2n\ell$ 时，$[c^p_{{\mathbb{Z}}_k}(\widehat{B(R)})] = [\ell R]$，从而确认了该不变量的非平凡性。
• 它建立了接触容量 $c^p_{{\mathbb{Z}}_k,\text{contact}}(\widehat{\mathcal{U}})$ 与辛容量 $c^p_{{\mathbb{Z}}_k,\text{symp}}(\mathcal{U})$ 的相等性，其中 $\widehat{\mathcal{U}} = \mathcal{U} \times S^1$，从而在辛与接触设定之间建立了统一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将接触与辛几何中基于标准生成函数的容量解释为持久同调的语言？
• RQ2 当将持久性框架扩展到等变设置（特别是 ${\mathbb{Z}}_k$-等变）时，会涌现出哪些新不变量？
• RQ3 ${\mathbb{Z}}_k$-等变容量能否用于证明非挤压定理与透镜空间的序化性？
• RQ4 由等变生成函数同调群构成的持久性模在包含与滤子作用下如何表现？
• RQ5 等变同调的函子性质在多大程度上保证了由此产生的容量的不变性与单调性？

主要发现

• 通过生成函数定义的标准接触与辛容量，等价于持久同调模 $H_p(E, E^a)$ 中特定同调类的持久性。
• 定义了一种新的 ${\mathbb{Z}}_k$-等变接触容量 $c^p_{{\mathbb{Z}}_k}(\phi)$，作为等变同调群 $W_a(\phi)$ 中类 $\eta^p$ 的持久性，该容量具有共轭不变性与单调性。
• 对于球体 $\widehat{B(R)} \subset \mathbb{R}^{2n} \times S^1$，当 $p = 2n\ell$ 时，有 $[c^p_{{\mathbb{Z}}_k}(\widehat{B(R)})] = [\ell R]$，确认了其非平凡性。
• 该容量为透镜空间序化性提供了基于持久性理论的新证明，其结果与先前通过接触同调和等变GF同调获得的结果一致。
• 当 $\widehat{\mathcal{U}} = \mathcal{U} \times S^1$ 时，接触容量 $c^p_{{\mathbb{Z}}_k,\text{contact}}(\widehat{\mathcal{U}})$ 等于辛容量 $c^p_{{\mathbb{Z}}_k,\text{symp}}(\mathcal{U})$，从而在辛与接触设定之间建立了统一性。