[论文解读] Contactomorphism groups and Legendrian flexibility

Sylvain Courte, Patrick Massot|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 24被引用 3

一句话总结

本文建立了接触微分同胚群、开书分解与接触几何中勒让德里安灵活性之间的深刻联系。证明了若一个紧致接触流形支持一个具有柔性 Weinstein 页的开书分解，则其接触微分同胚群的单位连通分支是均匀简单的——即每个非平凡元素可通过其自身或其逆元的至多 128(dim V + 1) 个共轭元生成，这意味着所有共轭不变范数均为有界。

ABSTRACT

We explain a connection between the algebraic and geometric properties of groups of contact transformations, open book decompositions, and flexible Legendrian embeddings. The main result is that, if a closed contact manifold $(V, ξ)$ has a supporting open book whose pages are flexible Weinstein manifolds, then the connected component $G$ of the identity in its automorphism group is a uniformly simple group: for every non-trivial element $g$, every other element is a product of at most $128(\dim V + 1)$ conjugates of $g^{\pm 1}$. In particular any conjugation invariant norm on this group is bounded. We also prove the later statement still holds for the universal cover of $G$.

研究动机与目标

• 探索接触流形中接触微分同胚群的代数与几何结构。
• 理解具有柔性 Weinstein 页的开书分解如何影响接触微分同胚群的群论性质。
• 在特定几何条件下，建立接触微分同胚群单位连通分支的均匀简单性。
• 将均匀简单性结果推广至接触微分同胚群的万有覆盖。
• 将这些群论结果与接触拓扑中勒让德里安子流形的灵活性联系起来。

提出的方法

• 利用开书分解分析接触流形的全局结构。
• 应用柔性 Weinstein 流形理论以控制开书中页的拓扑结构。
• 采用群论技术分析接触微分同胚群上的共轭不变范数。
• 通过界定生成任意群元素所需的共轭数，建立均匀简单性。
• 利用覆盖空间理论与群扩张论证，将结果推广至万有覆盖。
• 利用辛与接触拓扑领域的结果，特别是关于柔性勒让德里安嵌入的研究成果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种几何条件下，接触流形的接触微分同胚群是均匀简单的？
• RQ2 支持性开书分解中柔性 Weinstein 流形的页如何影响接触微分同胚群的代数结构？
• RQ3 接触微分同胚群单位连通分支的均匀简单性能否推广至其万有覆盖？
• RQ4 勒让德里安灵活性与接触微分同胚群上共轭不变范数的有界性之间存在何种关系？
• RQ5 具有柔性页的开书分解在多大程度上限制了接触微分同胚群的群结构？

主要发现

• 若一个紧致接触流形支持一个具有柔性 Weinstein 页的支撑性开书分解，则其接触微分同胚群的单位连通分支 $ G $ 是均匀简单的。
• 群 $ G $ 中任意非平凡元素 $ g \notin \text{Id} $ 可表示为至多 $ 128(\text{dim } V + 1) $ 个 $ g^{/pm 1} $ 的共轭元之积。
• 作为推论，群 $ G $ 上的所有共轭不变范数均为有界。
• 该有界性结果同样适用于 $ G $ 的万有覆盖，从而将均匀简单性推广至单连通情形。
• 该结果为某些柔性勒让德里安嵌入的存在性提供了新的代数障碍，其依据为群论性质。
• 证明依赖于柔性 Weinstein 结构、开书分解以及共轭类中字长的群论有界性之间的相互作用。