[论文解读] Containment Problems for Projections of Polyhedra and Spectrahedra

Kai Kellner|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2015

Advanced Theoretical and Applied Studies in Material Sciences and Geometry参考文献 22被引用 5

一句话总结

本文通过将投影多面体和广义多面体的包含问题形式化为多项式非负性问题，利用先进的Positivstellens"atze构建了半定规划条件的层次结构，解决了此类问题。核心贡献在于提出了一类针对投影集合的改进型Positivstellensatz，由此导出一个充分的半定条件层次结构，其首步与正线性映射的单一判据一致，并建立了包含关系与关联映射完全正性之间的新联系。

ABSTRACT

Spectrahedra are affine sections of the cone of positive semidefinite matrices which form a rich class of convex bodies that properly contains that of polyhedra. While the class of polyhedra is closed under linear projections, the class of spectrahedra is not. In this paper we investigate the problem of deciding containment of projections of polyhedra and spectrahedra based on previous works on containment of spectrahedra. The main concern is to study these containment problems by formulating them as polynomial nonnegativity problems. This allows to state hierarchies of (sufficient) semidefinite conditions by applying (and proving) sophisticated Positivstellensätze. We also extend results on a solitary sufficient condition for containment of spectrahedra coming from the polyhedral situation as well as connections to the theory of (completely) positive linear maps.

研究动机与目标

• 将广义多面体与多面体的包含判据扩展至其投影形式，而这些投影形式不像多面体那样在投影下保持封闭。
• 将投影凸集的包含问题形式化为多项式非负性问题，以通过半定规划实现算法化处理。
• 将非投影情形下的充分半定条件（尤其是单一判据）推广至投影情形。
• 在投影情形下，建立包含关系与正线性映射及完全正线性映射理论之间的联系。
• 基于投影集合的几何性质，提出一种改进的Positivstellensatz，从而导出一个充分的半定条件层次结构。

提出的方法

• 将多面体与广义多面体投影的包含问题形式化为参数变量与辅助变量乘积空间上的双线性非负性问题。
• 应用Putinar与Hol-Scherer的Positivstellens"atze，推导出包含关系的半定条件层次结构。
• 提出一种改进的Positivstellensatz，融入投影集合的几何结构，优于标准方法。
• 使用线性束表示广义多面体，并定义关联线性映射 $\Phi_{AB}$ 与 $\widehat{\Phi}_{AB}$，通过正性编码包含关系。
• 证明投影广义多面体 $\pi(S_A)$ 包含于 $S_B$ 当且仅当映射 $\widehat{C}$ 的完全正性成立，从而与单一判据建立联系。
• 通过几何与缩放论证，证明在有界性与非空性假设下，包含关系蕴含 $\widehat{\Phi}_{AB}$ 的正性。

实验结果

研究问题

• RQ1 投影多面体的包含问题能否被约化为多项式非负性问题？其计算复杂度如何？
• RQ2 如何将广义多面体包含关系的充分半定判据推广至其中一个集合为投影的情形？
• RQ3 投影广义多面体的包含关系与关联线性映射正性之间存在何种关系？
• RQ4 能否利用改进的Positivstellens"atze构建投影包含关系的半定条件层次结构？
• RQ5 在何种条件下，投影包含关系的半定条件层次结构能实现有限收敛？

主要发现

• 投影多面体包含问题为 co-NP 完全问题，反映出其相比非投影情形的复杂度提升。
• 推导出一个用于判断投影广义多面体包含于广义多面体的充分半定判据，推广了非投影情形下的单一判据。
• 所提半定条件层次结构的首步与单一判据完全一致，确保与先前结果的一致性。
• 建立了一类融入投影集合几何数据的改进型Positivstellensatz，从而实现更强的收敛性保证。
• 在严格可行性和有界性条件下，$\pi(S_A)$ 包含于 $S_B$ 当且仅当表示 $\widehat{\Phi}_{AB}$ 的矩阵 $\widehat{C}$ 为完全正矩阵。
• 该层次结构对一类特殊的二维有界广义多面体家族实现了有限收敛，扩展了先前的有限收敛结果。