[论文解读] Deciding polyhedrality of spectrahedra

Avinash Bhardwaj, Philipp Rostalski+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2011

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一句话总结

本文提出了一种算法，通过正交变换和联合不变子空间分解计算定义矩阵映射的规范形，以判断一个谱多面体是否为多面体。关键贡献在于提出了一种可计算的规范形，可揭示多面体结构，从而在一般问题为NP难的前提下实现多面体性的算法检测。

ABSTRACT

Spectrahedra are linear sections of the cone of positive semidefinite matrices that, as convex bodies, generalize the class of polyhedra. In this paper we investigate the problem of recognizing when a spectrahedron is polyhedral. We reprove a result of Ramana (1998) regarding the structure of spectrahedra and we devise a normal form of representations of spectrahedra. This normal form is effectively computable and leads to an algorithm for deciding polyhedrality.

研究动机与目标

• 确定何时一个谱多面体是多面体，这是凸几何与优化中的一个基本问题。
• 推广并强化Ramana关于谱多面体多面体性的结构结果。
• 开发一种有效且可计算的算法框架，用于判断多面体性。
• 为谱多面体表示提供一种规范形，以揭示其潜在的多面体结构。
• 解决冗余或不可对角化谱多面体表示所掩盖的多面体本质的挑战。

提出的方法

• 该方法首先通过在内点处使用Cholesky逆变换将矩阵映射转化为单位化形式，确保规范化表示。
• 通过相交所有换位矩阵的核，计算矩阵映射的联合不变子空间，从而识别出所有矩阵彼此可交换的最大子空间。
• 该算法应用正交变换对矩阵映射中的可交换部分进行对角化，得到一种将多面体与非多面体部分分离的规范形。
• 通过结合单位化变换和对角化正交矩阵的变换矩阵M构造规范形，得到一种分块对角结构。
• 通过检查关联多面体锥中是否存在线性空间来判断；其存在性可确认非多面体性。
• 在包含性步骤中，使用近似多面体的顶点枚举，以验证近似多面体是否包含于原始谱多面体中。

实验结果

研究问题

• RQ1 即使谱多面体的矩阵表示不可对角化，能否通过算法识别其为多面体？
• RQ2 谱多面体的哪些结构性质决定了其多面体性，特别是在定义矩阵不相互交换时？
• RQ3 如何计算谱多面体的规范形以揭示其多面体面？
• RQ4 此类规范形的计算复杂度如何，特别是变换中的位复杂度？
• RQ5 该算法能否在谱多面体以不可对角化或冗余矩阵映射表示时，仍检测出其非多面体性？

主要发现

• 所提出的规范形计算有效揭示了谱多面体是否为多面体，方法是将矩阵映射分解为可交换与不可交换部分。
• 该算法通过检测近似多面体锥中的线性空间来确认非多面体性，即使原始谱多面体是尖点的。
• 联合不变子空间计算可在多项式时间内完成，为算法提供了可处理的核心步骤。
• 转换为单位化矩阵映射可能涉及双指数位复杂度，如示例3.6所示，表明存在固有的数值挑战。
• 规范形在示例中清晰显示出两个多面体面，证实了谱多面体锥中多面体结构的存在。
• 该算法在大规模半定规划预处理中效率不高，但对假设检验和理论探索具有重要价值。