[论文解读] Continued fractions, statistics, and generalized patterns

Toufik Mansour|ArXiv.org|Oct 3, 2001

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 15被引用 15

一句话总结

本文通过在132-避免排列中引入广义模式——特别是12-3-...-k和21-3-...-k模式——将连分数生成函数推广至排列统计量。它建立了这些统计量联合分布的新连分数展开式，将其与Narayana数、Catalan数以及递增子序列统计量联系起来，从而通过类似的代数与组合技术，将先前关于经典模式的研究成果推广至广义模式设置。

ABSTRACT

Recently, Babson and Steingrimsson (see \cite{BS}) introduced generalized permutations patterns that allow the requirement that two adjacent letters in a pattern must be adjacent in the permutation. Following \cite{BCS}, let $e_kπ$ (respectively; $f_kπ$) be the number of the occurrences of the generalized pattern $12\mn3\mn...\mn k$ (respectively; $21\mn3\mn...\mn k$) in $π$. In the present note, we study the distribution of the statistics $e_kπ$ and $f_kπ$ in a permutation avoiding the classical pattern $1\mn3\mn2$. Also we present an applications, which relates the Narayana numbers, Catalan numbers, and increasing subsequences, to permutations avoiding the classical pattern $1\mn3\mn2$ according to a given statistics on $e_kπ$, or on $f_kπ$.

研究动机与目标

• 将经典排列模式的连分数框架扩展至具有邻接约束的广义模式。
• 研究132-避免排列中广义模式统计量e_k(π)和f_k(π)的分布。
• 建立这些统计量与Narayana数、Catalan数及递增子序列等组合对象之间的联系。
• 通过类似的代数技术，将先前关于经典模式（例如来自[BCS, MV1]）的结果推广至广义模式设置。
• 在模式避免排列的背景下，为排列统计量的生成函数提供一个统一的连分数生成框架。

提出的方法

• 改编[BCS]中的证明技术，推导132-避免排列中广义模式的连分数生成函数。
• 将e_k(π)和f_k(π)定义为排列π中广义模式12-3-...-k和21-3-...-k的出现次数。
• 通过最大元素的位置对132-避免排列进行递归分解，推导递推关系。
• 应用矩阵变换和生成函数恒等式，将生成函数与已知的组合序列关联起来。
• 利用分子包含二项式系数的连分数结构：∏_{k=0}^{n} x_{k+2}^{inom{n}{k}}。
• 通过将生成函数与已知的Narayana数和Catalan数的连分数相等，建立生成函数的函数方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典排列模式的连分数框架如何推广至具有邻接约束的广义模式？
• RQ2 统计量e_k(π)和f_k(π)在132-避免排列中的联合分布是什么？
• RQ3 e_k(π)和f_k(π)的生成函数能否表示为具有显式系数的连分数？
• RQ4 这些统计量是否具有Narayana数、Catalan数或递增子序列的组合解释？
• RQ5 用于经典模式的相同代数方法是否适用于132-避免情境下的广义模式？

主要发现

• 生成函数∑_{π∈S(1-3-2)} ∏_{k≥1} x_k^{e_k(π)} 由连分数给出，其第(n+1)个分子为x_1 · ∏_{k=0}^{n} x_{k+2}^{inom{n}{k}}。
• 满足e_2(π) = k的132-避免排列的数量等于Narayana数N(n,k)，通过将生成函数与已知的Narayana数连分数匹配得以证明。
• 类似地，满足f_2(π) = k的132-避免排列的数量也等于Narayana数N(n,k)，通过函数方程匹配得到确认。
• 2-递增子序列的总数（k≥2时e_k(π)的和）由连分数编码：1 / (1 - t(1-x) - x t / (1 - t(1-x^2) - x^2 t / (1 - ...)))。
• 几乎2-递增子序列的总数（k≥2时f_k(π)的和）由连分数编码：1 - t / (x t - 1 / (1 - t / (x^2 t - 1 / (1 - ...)))。
• 132-避免排列的数量（即Catalan数）的生成函数作为广义框架的特例被恢复，确认其与已知连分数形式的一致性。