[论文解读] On multi-avoidance of generalized patterns

Mansour, T., Kitaev, S.|ArXiv.org|Sep 25, 2002

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 15被引用 14

一句话总结

本文推导了在同时以指定的递增或递减模式开头和结尾的前提下，避免广义3-模式的排列数的递推关系和生成函数。该研究扩展了对经典与广义排列模式的多重避免问题的先前工作，为多种情形提供了闭式表达式和指数生成函数，包括与欧拉数、对合数和贝尔数的联系。

ABSTRACT

In [Kit1] Kitaev discussed simultaneous avoidance of two 3-patterns with no internal dashes, that is, where the patterns correspond to contiguous subwords in a permutation. In three essentially different cases, the numbers of such $n$-permutations are $2^{n-1}$, the number of involutions in $\mathcal{S}_n$, and $2E_n$, where $E_n$ is the $n$-th Euler number. In this paper we give recurrence relations for the remaining three essentially different cases. To complete the descriptions in [Kit3] and [KitMans], we consider avoidance of a pattern of the form $x-y-z$ (a classical 3-pattern) and beginning or ending with an increasing or decreasing pattern. Moreover, we generalize this problem: we demand that a permutation must avoid a 3-pattern, begin with a certain pattern and end with a certain pattern simultaneously. We find the number of such permutations in case of avoiding an arbitrary generalized 3-pattern and beginning and ending with increasing or decreasing patterns.

研究动机与目标

• 完成对排列中3-模式避免问题的分类，通过解决同时避免两个无内部连字符的3-模式的剩余三个情形。
• 通过要求排列在避免广义3-模式的同时，以指定的递增或递减模式开头和结尾，推广排列模式避免的研究。
• 推导此类排列数的指数生成函数与普通生成函数、递推关系以及闭式表达式。
• 通过整合多重约束与广义模式，扩展先前关于单模式避免及开头/结尾约束的研究结果。
• 探讨未来研究方向中的潜在推广，包括避免多个模式以及精确模式包含计数。

提出的方法

• 使用普通生成函数与指数生成函数来编码避免广义3-模式并满足开头/结尾模式约束的排列数。
• 应用对称操作（反转、补全及其复合）以减少不同情形的数量，利用避免计数在这些变换下的不变性。
• 通过积分方程与递归分解，推导出避免12-3且以12…ℓ或12…k结尾的排列数的递推关系。
• 采用积分表示与指数生成函数，表达涉及递增或递减初始/末尾模式的情形的解。
• 建立此类排列数与已知组合序列（如欧拉数、贝尔数和对合数）之间的联系。
• 应用容斥原理与递归分解，处理初始或末尾模式与广义模式重叠的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在以递增或递减模式开头并以另一类此类模式结尾的前提下，避免广义3-模式的排列数是多少？
• RQ2 递推关系与生成函数如何刻画避免12-3且以12…ℓ或12…k结尾的排列数？
• RQ3 避免12-3且以特定模式开头/结尾的排列数与欧拉数、贝尔数等已知组合序列之间有何关系？
• RQ4 反转、补全及其复合的对称性如何影响具有初始与末尾模式约束的模式避免排列的计数？
• RQ5 同时避免两个广义3-模式并以递增或递减模式开头和结尾的排列的生成函数是什么？

主要发现

• 对于避免12-3且以12…ℓ结尾的情形，当k=2且ℓ=2时，指数生成函数由包含e^{e^t - e^m + m}的积分表达式给出。
• 当避免12-3且以12…k开头并以12…ℓ结尾时，若k≥3或ℓ≥3，则此类排列数为零，仅在k与ℓ较小时非零。
• 避免12-3且以12…ℓ结尾的排列数等于避免1-23且以12…ℓ开头的排列数，这是由于反转与补全操作下的对称性。
• 对于避免12-3且以k(k-1)…1开头、以12…ℓ结尾的排列，其递推关系涉及二项式系数之和与3-21-避免排列的已知计数。
• 避免12-3且以k(k-1)…1开头、以ℓ(ℓ-1)…1结尾的排列的指数生成函数满足一个偏微分方程，其中涉及x的指数与截断指数级数的复合。
• 当同时避免12-3与21-3，且以1或12开头和结尾时，生成函数分别显式给出为e^{x + x²/2} - 1及相关积分。