[论文解读] Continuity, curvature, and the general covariance of optimal transportation

Young‐Heon Kim, Robert J. McCann|ArXiv.org|Dec 19, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 23被引用 14

一句话总结

本文通过将Ma-Trudinger-Wang（MTW）条件解释为由代价函数诱导的伪黎曼度量中某些零平面的非负截面曲率，阐明了最优传输光滑性中MTW条件的几何起源。它提供了一种直接、自包含的证明，无需依赖先前的连续性方法结果，证明了在紧黎曼流形（包括球面）上最优映射的霍尔德连续性，并通过纤维丛和张量积将理论推广至一般流形和代价函数。

ABSTRACT

Let M and \bar M be n-dimensional manifolds equipped with suitable Borel probability measures ρand \barρ. Ma, Trudinger & Wang gave sufficient conditions on a transportation cost c \in C^4(M imes \bar M) to guarantee smoothness of the optimal map pushing ρforward to \barρ; the necessity of these conditions was deduced by Loeper. The present manuscript shows the form of these conditions to be largely dictated by the covariance of the question; it expresses them via non-negativity of the sectional curvature of certain null-planes in a novel but natural pseudo-Riemannian geometry which the cost c induces on the product space M imes \bar M. Hölder continuity of optimal maps was established for rougher mass distributions by Loeper, still relying on a key result of Trudinger & Wang which required certain structure on the domains and the cost. We go on to develop this theory for mass distributions on differentiable manifolds -- recovering Loeper's Riemannian examples such as the round sphere as particular cases -- give a direct proof of the key result mentioned above, and revise Loeper's Hölder continuity argument to make it logically independent of all earlier works, while extending it to less restricted geometries and cost functions even for subdomains M and \bar M of R^n. We also give new examples of geometries satisfying the hypotheses -- obtained using submersions and tensor products -- and some connections to spacelike Lagrangian submanifolds in symplectic geometry.

研究动机与目标

• 通过将MTW条件解释为在乘积流形上由代价函数诱导的伪黎曼结构中非负截面曲率，阐明最优传输正则性中MTW条件的几何意义。
• 在不依赖于连续性方法或Delano€‹e、Loeper或Ma-Trudinger-Wang先前结果的前提下，为紧黎曼流形（如球面）上最优映射的霍尔德连续性提供一种直接、逻辑上独立的证明。
• 通过内在几何工具，将最优传输理论从欧氏区域推广至微分流形，包括球面等黎曼例子。
• 通过流形的纤维丛和张量积构造新的满足MTW条件的代价函数与几何结构。
• 将最优传输框架与辛几何中的类空拉格朗日子流形联系起来，揭示更深层的几何结构。

提出的方法

• 在乘积空间 $M \times \bar{M}$ 上引入一种由代价函数 $c$ 诱导的新伪黎曼度量，其中MTW条件等价于某些零平面的非负截面曲率。
• 利用 $c$-指数映射和 $c$-凸势函数构造最优映射 $F = c\text{-Exp} \circ Du$，在MTW条件下确保其连续性。
• 通过测地球内体积比较论证推导局部霍尔德估计，并借助紧致性将结果全局化。
• 通过构造一个竖直凸且 $2$-一致的区域 $N = B_r(z) \times B_R(\pm z)$，建立局部正则性，从而可应用比较定理。
• 通过直接利用MTW条件和 $c$-凸性（特别是 $u^{c^{*}c} = u$ 和势函数的 $C^1$ 正则性）替代对连续性方法的依赖，实现直接估计。
• 通过流形的纤维丛和张量积构造新的满足MTW条件的几何结构，将允许的代价函数类扩展至标准欧氏或黎曼情形之外。

实验结果

研究问题

• RQ1 最优传输正则性中Ma-Trudinger-Wang条件的几何结构基础是什么？
• RQ2 能否在不依赖连续性方法和黎曼流形上先前结果的前提下，独立证明最优映射的霍尔德连续性？
• RQ3 最优传输框架如何从欧氏区域推广至一般微分流形？
• RQ4 哪些新的代价函数与几何结构满足MTW条件，以及如何系统地构造它们？
• RQ5 最优传输与辛几何中类空拉格朗日子流形之间存在何种联系？

主要发现

• Ma-Trudinger-Wang条件在几何上等价于由代价函数在 $M \times \bar{M}$ 上诱导的伪黎曼度量中某些零平面的非负截面曲率。
• 在MTW条件下且假设 $\bar{\rho} \geq m > 0$ 时，最优映射 $F$ 在单位球面 $\mathbf{S}^n$ 上连续，且 $F = c\text{-Exp} \circ Du$，其中 $u$ 为 $C^1$ 势函数。
• 对于单位球面，若代价函数为 $c(x,\bar{x}) = \mathop{\rm dist}^2(x,\bar{x})/2$ 或 $c(x,\bar{x}) = -\log|x - \bar{x}|$，则最优映射分别属于 $C^{1/5}(\mathbf{S}^n, \mathbf{S}^n)$ 或 $C^{(1 - n/p)/(4n - 1 - n/p)}(\mathbf{S}^n, \mathbf{S}^n)$，前提是 $\rho$ 满足 $L^p$ 可积性且 $p > n$。
• 霍尔德连续性的证明是自包含的，不依赖于连续性方法或Delano€‹e、Loeper或Ma-Trudinger-Wang的早期结果。
• 通过流形的纤维丛和张量积构造了新的满足MTW条件的几何结构，扩展了允许代价函数的类别。
• 该框架揭示了最优传输与辛几何中类空拉格朗日子流形之间的联系，暗示存在更深层的几何对偶性。