[论文解读] Counterexamples to continuity of optimal transportation on positively curved Riemannian manifolds

Young‐Heon Kim|ArXiv.org|Sep 11, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用 15

一句话总结

本文构建了明确的反例，以反驳关于黎曼流形上非负或正截面曲率蕴含 A3w 条件的猜想，而 A3w 条件是最优传输映射连续性的关键要求。通过分析具有浅锥形奇点的径向对称曲面及其光滑扰动，作者证明即使在正曲率流形中，最优传输映射对光滑测度仍可能不连续，从而否定了最优传输与黎曼几何领域长期悬而未决的开放性问题。

ABSTRACT

Counterexamples to continuity of optimal transportation on Riemannian manifolds with everywhere positive sectional curvature are provided. These examples show that the condition A3w of Ma, Trudinger, & Wang is not guaranteed by positivity of sectional curvature.

研究动机与目标

• 解决问题 1.1：非负或正截面曲率是否蕴含最优传输的 A3w 条件？
• 证伪长期以来被特鲁迪泽怀疑且由球面上已知结果支持的猜想——即 A3w 可由非负曲率推出。
• 构建具有处处正（或非负）曲率的完备黎曼流形的显式例子，且这些例子违反 A3w 条件。
• 证明即使在源测度和目标测度均为光滑的情况下，此类流形上仍可能存在不连续的最优传输映射。
• 通过表明 A3w 并非由曲率正性所蕴含，而是更强的、独立的几何条件，澄清 A3w 的几何意义。

提出的方法

• 构造一个二维曲面 Σ_ϑ，作为小锥角 2π−2ϑ 的平锥的光滑、径向对称扰动，其中 0<ϑ≪1。
• 确保度量在球 B(O,1) 外部为平坦（K≡0），在 B 内部具有小的正曲率（0<K<1/10000），同时保持径向对称。
• 采用黎曼距离平方成本函数 c(x,ȳ)=dist²(x,ȳ)/2 作为传输成本函数。
• 证明该成本函数在大区域内可微，从而可应用测地线分析与 c-线段。
• 通过分析在弯曲区域内发生弯曲的 c-线段，证明在原点附近的点处局部 DASM（退化的 A3w）条件不成立。
• 通过径向对称或黎曼积构造推广至高维，并通过扰动实现严格正曲率，同时保持 A3w 的违反。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个具有非负截面曲率的黎曼流形是否都满足最优传输的 A3w 条件？
• RQ2 一个具有正截面曲率的流形是否可能不满足 A3w，从而允许最优传输映射不连续？
• RQ3 A3w 条件是否由曲率正性所蕴含？还是它是一个更强的、独立的几何条件？
• RQ4 能否在开集和紧致情形下均构造出显式反例？
• RQ5 交叉曲率的几何作用在决定最优传输映射正则性方面起什么作用？

主要发现

• 本文构建了一个二维完备黎曼流形，其处处具有非负曲率，但违反了 A3w 条件。
• 所构造的流形是小锥角平锥的光滑、径向对称扰动，导致在有界区域内产生小的正曲率。
• 通过局部 DASM 条件的失败来证明 A3w 的违反，具体方法是分析在弯曲区域内偏离直线路径的 c-线段。
• 可通过等距嵌入将二维反例推广至更高维径向流形。
• 通过对非负曲率例子进行扰动，构造出一个紧致且具有正曲率的流形，其仍违反 A3w，从而证明正曲率并不蕴含 A3w。
• 该结果证实了特鲁迪泽的直觉，并表明 A3w 并非曲率正性的结果，而是一个独立的、更强的条件。