[论文解读] Continuous mappings with null support

M. R. Koushesh|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2013

Advanced Topology and Set Theory参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文引入并研究了巴拿赫代数 $ C^{\mathscr{I}}_{00}(X) $ 和 $ C^{\mathscr{I}}_0(X) $，它们由定义在拓扑空间 $ X $ 上的连续有界函数构成，其支集或水平集具有相对于给定理想 $ \mathscr{I} $ 的零邻域。关键结果表明，对于正规局部零空间，这些代数分别同构于 $ C_{00}(Y) $ 和 $ C_0(Y) $，其中 $ Y \subseteq \beta X $ 是唯一的局部紧致豪斯多夫空间，从而通过 $ Y $ 的拓扑结构获得新的 Gelfand–Naimark 型定理。

ABSTRACT

Let $X$ be a (topological) space and let ${\mathscr I}$ be an ideal in $X$, that is, a collection of subsets of $X$ which contains all subsets of its elements and is closed under finite unions. The elements of ${\mathscr I}$ are called null. The space $X$ is locally null if each $x$ in $X$ has a null neighborhood in $X$. Let $C_b(X)$ denote the normed algebra of all continuous bounded real-valued mappings on $X$ equipped with the supremum norm, $C_0(X)$ denote the subalgebra of $C_b(X)$ consisting of elements vanishing at infinity and $C_{00}(X)$ the subalgebra of $C_b(X)$ consisting of elements with compact support. We study the normed subalgebra $C^{\mathscr I}_{00}(X)$ of $C_b(X)$ consisting of all $f$ in $C_b(X)$ whose support has a null neighborhood in $X$, and the Banach subalgebra $C^{\mathscr I}_0(X)$ of $C_b(X)$ consisting of all $f$ in $C_b(X)$ such that $|f|^{-1}([1/n,\infty))$ has a null neighborhood in $X$ for all positive integer $n$. We prove that if $X$ is a normal locally null space then $C^{\mathscr I}_{00}(X)$ and $C^{\mathscr I}_0(X)$ are respectively isometrically isomorphic to $C_{00}(Y)$ and $C_0(Y)$ for a unique locally compact Hausdorff space $Y$; furthermore, $C^{\mathscr I}_{00}(X)$ is dense in $C^{\mathscr I}_0(X)$. We construct $Y$ explicitly as a subspace of the Stone--Čech compactification $βX$ of $X$. The space $Y$ is locally compact (and countably compact, in certain cases), contains $X$ densely, and in specific cases turns out to be familiar subspaces of $βX$. The known topological structure of $Y$ enables us to establish several commutative Gelfand--Naimark type theorems and derive results not generally expected to be deducible from the standard Gelfand theory.

研究动机与目标

• 定义并分析相对给定的可忽略集理想 $ \mathscr{I} $，支集具有零邻域的连续有界函数的赋范代数 $ C^{\mathscr{I}}_{00}(X) $。
• 定义并研究巴拿赫代数 $ C^{\mathscr{I}}_0(X) $，其元素为每个水平集 $ |f|^{-1}([1/n,\infty)) $ 在 $ X $ 中具有零邻域的连续有界函数。
• 在正规性和局部零条件下，建立 $ C^{\mathscr{I}}_{00}(X) $ 和 $ C^{\mathscr{I}}_0(X) $ 与局部紧致豪斯多夫空间 $ Y \subseteq \beta X $ 上连续在无穷远处趋于零的函数代数的等距同构。
• 显式构造 $ Y $ 为 Stone–Čech 紧化 $ \beta X $ 的子空间，证明其为局部紧致空间，且在某些情况下为可数紧致空间。
• 通过已知的 $ Y $ 的拓扑结构，推导出新的交换 Gelfand–Naimark 型定理，其结果超越了标准 Gelfand 理论的范围。

提出的方法

• 将 $ C^{\mathscr{I}}_{00}(X) $ 定义为所有满足 $ \mathrm{supp}(f) $ 在 $ X $ 中具有零邻域的 $ f \in C_b(X) $ 的集合，其中零集为 $ X $ 上理想 $ \mathscr{I} $ 的元素。
• 将 $ C^{\mathscr{I}}_0(X) $ 定义为所有满足对每个正整数 $ n $，$ |f|^{-1}([1/n,\infty)) $ 在 $ X $ 中具有零邻域的 $ f \in C_b(X) $ 的集合，以确保函数在无穷远处相对于 $ \mathscr{I} $ 的衰减性。
• 构造一个局部紧致豪斯多夫空间 $ Y \subseteq \beta X $（即 $ X $ 的 Stone–Čech 紧化），使得 $ C^{\mathscr{I}}_{00}(X) $ 和 $ C^{\mathscr{I}}_0(X) $ 分别与 $ C_{00}(Y) $ 和 $ C_0(Y) $ 等距同构。
• 利用正规空间中闭子集是 $ C $-嵌入的性质，并应用 Hewitt 实紧化 $ \upsilon X $，当 $ \mathscr{I} $ 是具有实紧闭包的集合的理想时，将 $ Y $ 表示为 $ \beta X \setminus \mathrm{cl}_{\beta X}(\upsilon X \setminus X) $。
• 利用 $ \beta X $ 的拓扑性质，如连续扩张的存在性以及在紧化中闭包的行为，证明 $ Y $ 是局部紧致的，并且 $ X $ 在 $ Y $ 中稠密。
• 应用交换巴拿赫代数理论中的对偶技术，特别是 Gelfand–Naimark 型定理，从 $ Y $ 的拓扑构造出发推导出结构性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，代数 $ C^{\mathscr{I}}_{00}(X) $ 同构于某个局部紧致豪斯多夫空间 $ Y $ 上的 $ C_{00}(Y) $？
• RQ2 当 $ X $ 为正规且局部零时，$ C^{\mathscr{I}}_0(X) $ 的结构如何与子空间 $ Y \subseteq \beta X $ 的拓扑性质相关联？
• RQ3 实现 $ C^{\mathscr{I}}_{00}(X) $ 和 $ C^{\mathscr{I}}_0(X) $ 的等距同构的拓扑空间 $ Y $ 的显式描述是什么？其结构如何依赖于理想 $ \mathscr{I} $？
• RQ4 能否从 $ Y \subseteq \beta X $ 的拓扑结构中推导出新的 Gelfand–Naimark 型定理，其结果超越标准 Gelfand 理论的范围？
• RQ5 在何种情况下 $ C^{\mathscr{I}}_{00}(X) $ 与支集本身为零的函数集合重合？在何种情况下 $ C^{\mathscr{I}}_0(X) $ 与共零集具有零邻域的函数集合重合？

主要发现

• 对于正规局部零空间 $ X $，代数 $ C^{\mathscr{I}}_{00}(X) $ 同构于唯一一个满足 $ Y \subseteq \beta X $ 的局部紧致豪斯多夫空间 $ Y $ 上的 $ C_{00}(Y) $，且 $ X $ 在 $ Y $ 中稠密嵌入。
• 代数 $ C^{\mathscr{I}}_0(X) $ 同构于 $ C_0(Y) $，且 $ C^{\mathscr{I}}_{00}(X) $ 在 $ C^{\mathscr{I}}_0(X) $ 中稠密，从而确立了自然的包含结构。
• 当 $ \mathscr{I} $ 是具有实紧闭包的集合的理想时，空间 $ Y $ 显式构造为 $ \beta X \setminus \mathrm{cl}_{\beta X}(\upsilon X \setminus X) $，表明 $ Y $ 是 $ \beta X $ 的一个熟知子空间。
• 当 $ \mathscr{I} $ 是正规空间 $ X $ 中具有实紧闭包的集合的理想时，$ Y $ 恰好是 $ \beta X $ 中不属于 $ \upsilon X \setminus X $ 的闭包的点的集合，且 $ Y $ 是一个局部紧致的 $ G_\delta $ 集。
• 通过构造 $ Y $，可推导出新的交换 Gelfand–Naimark 型定理，这些定理由于 $ Y $ 的特定拓扑性质，无法通过标准 Gelfand 理论获得。
• 当 $ \mathscr{I} $ 为 $ \sigma $-理想，且 $ X $ 为 Linderöf 空间且局部零时，有 $ C^{\mathscr{I}}_{00}(X) = \{ f \in C_b(X) : \mathrm{supp}(f) \text{ 为零} \} $，从而简化了代数的描述。