[论文解读] Contraherent cosheaves

Leonid Positselski|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 56被引用 10

一句话总结

本文引入了在概形上对余挠模进行整体化的对偶层——反余层（contraherent cosheaves），建立了在拟紧半分离或诺特概形上，拟相干层与反余层的导出共-对偶对应关系，该关系将这两类层的导出范畴等同起来。本文还给出了内曼（Neeman）的特殊逆像函子 $f^!$ 与德尔格内（Deligne）的 $f^+$ 的显式构造，从而将代数几何中的对偶理论进行了推广。

ABSTRACT

Contraherent cosheaves are globalizations of cotorsion (or similar) modules over commutative rings obtained by gluing together over a scheme. The category of contraherent cosheaves over a scheme is a Quillen exact category with exact functors of infinite product. Over a quasi-compact semi-separated scheme or a Noetherian scheme of finite Krull dimension (in a different version - over any locally Noetherian scheme), it also has enough projectives. We construct the derived co-contra correspondence, meaning an equivalence between appropriate derived categories of quasi-coherent sheaves and contraherent cosheaves, over a quasi-compact semi-separated scheme and, in a different form, over a Noetherian scheme with a dualizing complex. The former point of view allows us to obtain an explicit construction of Neeman's extraordinary inverse image functor $f^!$ for a morphism of quasi-compact semi-separated schemes $f$. The latter approach provides an expanded version of the covariant Serre-Grothendieck duality theory and leads to Deligne's extraordinary inverse image functor $f^!$ (which we denote by $f^+$) for a morphism of finite type $f$ between Noetherian schemes. Semi-separated Noetherian stacks, affine Noetherian formal schemes, and ind-affine ind-schemes (together with the noncommutative analogues) are briefly discussed in the appendices.

研究动机与目标

• 通过在概形上进行层论粘合，将余挠模推广为层论对象，定义反余层。
• 在反余层范畴上建立 Quillen 正合范畴结构，且其无限积函子保持正合性。
• 在拟相干层与反余层的导出范畴之间建立导出共-对偶对应关系。
• 利用共-对偶对应关系，显式构造 Neeman 的 $f^!$ 函子。
• 将塞尔-格罗滕迪克对偶理论推广至更广泛的概形类，包括诺特概形与半分离概形。

提出的方法

• 通过在概形上进行层论粘合，将余挠模整体化，构造反余层。
• 证明反余层范畴是一个 Quillen 正合范畴，且其无限积函子保持正合性。
• 在拟紧半分离或有限克鲁尔维数的局部诺特概形上，证明存在足够多的投射对象。
• 通过导出函子在拟相干层与反余层的导出范畴之间建立导出共-对偶对应关系。
• 利用该对应关系，显式构造拟紧半分离概形之间态射的 Neeman 的 $f^!$ 函子。
• 利用对偶复形，将对偶理论扩展至诺特概形之间有限型态射的情形，构造 Deligne 的 $f^+$ 函子。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将余挠模全局化，以在概形上定义拟相干层的层论对偶？
• RQ2 反余层范畴在正合性与无限积方面具有何种范畴结构？
• RQ3 是否可以在拟相干层与反余层的导出范畴之间建立导出共-对偶对应关系？
• RQ4 如何利用该共-对偶对应关系显式构造 Neeman 的特殊逆像函子 $f^!$？
• RQ5 该共-对偶对应关系在多大程度上可将协变塞尔-格罗滕迪克对偶性推广至具有对偶复形的诺特概形？

主要发现

• 在概形上，反余层范畴是一个 Quillen 正合范畴，且其无限积函子保持正合性。
• 在拟紧半分离概形或有限克鲁尔维数的诺特概形上，反余层范畴具有足够多的投射对象。
• 在拟紧半分离概形上，拟相干层与反余层的导出范畴之间建立了导出共-对偶对应关系。
• 共-对偶对应关系使得能够显式构造拟紧半分离概形之间态射的 Neeman 的 $f^!$ 函子。
• 对于具有对偶复形的诺特概形，该对应关系导出了协变塞尔-格罗滕迪克对偶性的扩展版本，并构造了 Deligne 的 $f^+$ 函子。
• 该框架可推广至半分离诺特叠、仿诺特形式概形及 ind-仿射 ind-概形，包括非交换情形的类比。