[论文解读] Convex functions on dual Orlicz spaces

Freddy Delbaen, Keita Owari|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2016

Advanced Banach Space Theory参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文证明了在对偶 Orlicz 空间 $L^*_{\Phi}$ 上，凸函数关于 Mackey 拓扑 $\tau(L^*_{\Phi}, L_{\Phi})$ 为下确界连续（lsc）当且仅当它们在每个序区间 $[-\zeta, \zeta]$ 上关于依概率收敛为下确界连续。关键贡献是在 $L^*_{\Phi}$ 上建立了一个 Komlós 型定理，表明 $L^*_{\Phi}$ 中任意有界范数的序列均存在一列前向凸组合，其几乎必然收敛且在 $L^*_{\Phi}$ 中一致有界，从而使得可通过概率收敛刻画 Mackey 拓扑下的下确界连续性与连续性。

ABSTRACT

In the dual $L_{Φ^*}$ of a $Δ_2$-Orlicz space $L_Φ$, that we call a dual Orlicz space, we show that a proper (resp. finite) convex function is lower semicontinuous (resp. continuous) for the Mackey topology $τ(L_{Φ^*},L_Φ)$ if and only if on each order interval $[-ζ,ζ]=\{ξ: -ζ\leq ξ\leqζ\}$ ($ζ\in L_{Φ^*}$), it is lower semicontinuous (resp. continuous) for the topology of convergence in probability. For this purpose, we provide the following Komlós type result: every norm bounded sequence $(ξ_n)_n$ in $L_{Φ^*}$ admits a sequence of forward convex combinations $\barξ_n\in\mathrm{conv}(ξ_n,ξ_{n+1},...)$ such that $\sup_n|\barξ_n|\in L_{Φ^*}$ and $\barξ_n$ converges a.s.

研究动机与目标

• 刻画对偶 Orlicz 空间 $L^*_{\Phi}$ 上凸函数关于 Mackey 拓扑 $\tau(L^*_{\Phi}, L_{\Phi})$ 的下确界连续性与连续性。
• 在 $\Delta^2$-Orlicz 空间的对偶中建立一个 Komlós 型定理，确保有界范数序列的前向凸组合几乎必然收敛。
• 证明对于 $L^*_{\Phi}$ 上的正规凸函数，$\tau(L^*_{\Phi}, L_{\Phi})$-下确界连续性等价于在依概率收敛下于序区间上的下确界连续性。
• 将结果应用于货币效用函数与凸风险度量，刻画其在 Mackey 拓扑下的正则性。

提出的方法

• 证明一个 Komlós 型结果：$L^*_{\Phi}$ 中任意有界范数序列均存在一列前向凸组合 $\bar{\xi}_n \in \text{conv}(\xi_n, \xi_{n+1}, \dots)$，使得 $\sup_n |\bar{\xi}_n| \in L^*_{\Phi}$ 且 $\bar{\xi}_n \to \xi$ 几乎必然。
• 利用 Kreïn-Šmulian 定理，将 Mackey 拓扑中的序列性质与序区间中的拓扑闭性联系起来。
• 通过在序区间 $[-\zeta, \zeta]$ 上的序列依概率收敛刻画 $\tau(L^*_{\Phi}, L_{\Phi})$-下确界连续性。
• 利用凸函数的对偶表示，建立 $\tau(L^*_{\Phi}, L_{\Phi})$-连续性与在有界集上依概率收敛下的连续性之间的等价性。
• 将结果应用于货币效用函数，证明上确界连续性等价于从上连续性：$\xi_n \downarrow \xi \Rightarrow u(\xi) = \lim_n u(\xi_n)$。
• 利用 Dunford-Pettis 定理与 Moreau 定理，在对偶空间设定下证明连续性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $L^*_{\Phi}$ 上的正规凸函数何时关于 Mackey 拓扑 $\tau(L^*_{\Phi}, L_{\Phi})$ 为下确界连续？
• RQ2 Mackey 拓扑下的下确界连续性能否通过 $L^*_{\Phi}$ 中序区间上的依概率收敛来刻画？
• RQ3 是否每个 $L^*_{\Phi}$ 中的有界范数序列均存在一列前向凸组合，使其几乎必然收敛且在 $L^*_{\Phi}$ 中有界？
• RQ4 这些结果如何刻画货币效用函数与凸风险度量在 Mackey 拓扑下的正则性？
• RQ5 在 $L^*_{\Phi}$ 中，一个序闭凸集的弱*闭包是否等于其序列弱*闭包？

主要发现

• 在 $L^*_{\Phi}$ 上的正规凸函数 $f$ 关于 $\tau(L^*_{\Phi}, L_{\Phi})$ 为下确界连续，当且仅当它在每个序区间 $[-\zeta, \zeta]$ 上关于依概率收敛为下确界连续。
• 对任意 $L^*_{\Phi}$ 中的有界范数序列 $ (\xi_n) $，存在一列前向凸组合 $ \bar{\xi}_n \in \text{conv}(\xi_n, \xi_{n+1}, \dots) $，使得 $ \sup_n |\bar{\xi}_n| \in L^*_{\Phi} $ 且 $ \bar{\xi}_n \to \xi $ 几乎必然。
• 若 $ C \subset L^*_{\Phi} $ 为凸集，则 $ C $ 为 $ \sigma(L^*_{\Phi}, L_{\Phi}) $-闭集当且仅当对每个 $ \zeta \in L^*_{\Phi} $，有 $ C \cap [-\zeta, \zeta] $ 在 $ L^0 $ 中闭。
• 在 $L^*_{\Phi}$ 上的有限凸函数 $ f $ 关于 $\tau(L^*_{\Phi}, L_{\Phi})$ 连续，当且仅当它在有界集上关于依概率收敛连续。
• 对货币效用函数 $ u $，$\tau(L^*_{\Phi}, L_{\Phi})$-上确界连续性等价于从上连续性：$\xi_n \downarrow \xi \Rightarrow u(\xi) = \lim_n u(\xi_n) $。
• 对有限货币效用函数，$\tau(L^*_{\Phi}, L_{\Phi})$-连续性等价于从下连续性：$\xi_n \uparrow \xi \Rightarrow u(\xi) = \lim_n u(\xi_n) $。