[论文解读] Correlation Clustering Generalized

David F. Gleich, Nate Veldt+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 19被引用 6

一句话总结

本论文为两种广义相关聚类问题——LambdaCC 和 MotifCC 提出了改进的近似算法。它建立了 LambdaCC 的 LP 松弛在 $\Theta(\log n)$ 范围内的整数规划间隙，解释了在小 $\lambda$ 值下难以实现常数因子近似的挑战，并为最大边度为 $k$ 且具有概率权重的超图上的 MotifCC 提供了 $4(k-1)$-近似算法，相较于 $k=3$ 时先前的 9 倍改进为 8 倍。对于双聚类变体，其在 LambdaCC 上实现了 $O(\sqrt{\log n})$ 近似，在 MotifCC 上实现了 $1+k\cdot2^{k-2}$-近似，当 $k=3$ 时达到 7 倍近似。该研究推进了对网络中高阶社区检测的理论理解与实际近似方法。

ABSTRACT

We present new results for LambdaCC and MotifCC, two recently introduced variants of the well-studied correlation clustering problem. Both variants are motivated by applications to network analysis and community detection, and have non-trivial approximation algorithms. We first show that the standard linear programming relaxation of LambdaCC has a $Θ(\log n)$ integrality gap for a certain choice of the parameter $λ$. This sheds light on previous challenges encountered in obtaining parameter-independent approximation results for LambdaCC. We generalize a previous constant-factor algorithm to provide the best results, from the LP-rounding approach, for an extended range of $λ$. MotifCC generalizes correlation clustering to the hypergraph setting. In the case of hyperedges of degree $3$ with weights satisfying probability constraints, we improve the best approximation factor from $9$ to $8$. We show that in general our algorithm gives a $4(k-1)$ approximation when hyperedges have maximum degree $k$ and probability weights. We additionally present approximation results for LambdaCC and MotifCC where we restrict to forming only two clusters.

研究动机与目标

• 解决 Lambda 相关聚类（LambdaCC）中的理论与算法挑战，特别是当参数 $\lambda$ 较小时，此时常数因子近似算法难以实现。
• 通过 Motif 相关聚类（MotifCC）将相关聚类框架推广至超图，以支持更高阶社区结构的检测。
• 为 LambdaCC 和 MotifCC 提供改进的近似保证，尤其在必须恰好形成两个聚类的受限情形下。
• 通过建立某些 $\lambda$ 值下的 $\Theta(\log n)$ 整数规划间隙，分析 LambdaCC 的 LP 松弛的局限性。

提出的方法

• 通过构造一个实例族，其中最优 LP 解比任何整数解好 $\Theta(\log n)$ 倍，建立 LambdaCC 标准线性规划松弛的 $\Theta(\log n)$ 整数规划间隙。
• 将先前针对 LambdaCC 的 LP 舍入算法扩展至更广范围的 $\lambda < 1/2$，在该范围内实现 $o(\log n)$ 近似因子。
• 将 Charikar 等人针对无权相关聚类的 $4$-近似推广至 MotifCC，对最大度为 $k$ 的边和概率加权边的超图，采用类似的 LP 松弛与舍入技术。
• 设计一种组合式选择枢轴的算法用于双聚类 MotifCC 问题，受 Ailon 等人启发，避免求解 LP，实现渐近 $1 + k \cdot 2^{k-2}$ 近似。
• 通过在 $(k-1)$-元组和节点跨割移动上的组合论证，比较算法输出与最优聚类，以界定近似比。
• 利用二项式系数的渐近分析，证明比例 $\frac{{n-1 \choose k-1}}{{n/2 \choose k-1}}$ 收敛于 $2^{k-1}$，从而推导出 $1 + k \cdot 2^{k-2}$ 的界。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何 LambdaCC 的常数因子近似算法无法推广至小 $\lambda$ 值？其 LP 松弛存在何种结构性限制？
• RQ2 MotifCC 的 $4(k-1)$-近似能否推广至任意常数 $k$？对于小 $k$，能否进一步改进近似因子？
• RQ3 能否设计一种组合式、无需 LP 的算法用于双聚类 MotifCC，以实现良好的近似比？
• RQ4 双聚类 LambdaCC 的最佳可能近似因子是多少？其与 Min Uncut 问题有何关联？
• RQ5 能否在超图相关聚类中最小化错误数时，实现与 $k$ 无关的近似因子？

主要发现

• 对于某些小 $\lambda$ 值，LambdaCC 的标准 LP 松弛存在 $\Theta(\log n)$ 整数规划间隙，解释了为何在这些情况下通过 LP 舍入难以获得常数因子近似。
• 本文将 LP 舍入方法扩展至更广范围的 $\lambda < 1/2$，为 LambdaCC 提供了 $o(\log n)$ 近似因子，优于先前结果。
• 对于最大边度为 $k$ 且具有概率权重的 MotifCC，本文实现了 $4(k-1)$-近似，相较于 $k=3$ 时先前的 9 倍改进为 8 倍。
• 对于双聚类 MotifCC 变体，所提出的枢轴算法实现了渐近近似比 $1 + k \cdot 2^{k-2}$，当 $k=3$ 时得到 7 倍近似。
• 当限制为两个聚类时，LambdaCC 退化为 Min Uncut 问题，从而可实现 $O(\sqrt{\log n})$ 近似，优于一般情况下的 $O(\log n)$ 上界。
• 分析表明，二项式系数比 $\frac{{n-1 \choose k-1}}{{n/2 \choose k-1}}$ 渐近趋近于 $2^{k-1}$，这是界定算法性能的关键。