[论文解读] Correspondences of categories for subregular W-algebras and principal W-superalgebras

Thomas Creutzig, Naoki Genra+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2021

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 87被引用 8

一句话总结

本文通过Kazama–Suzuki型共线构造与相对半无限上同调，建立了$\mathfrak{sl}_n$的次正则$\mathcal{W}$代数与$\mathfrak{sl}_{1|n}$的主$\mathcal{W}$超代数的表示范畴之间的张量等价。它证明了范畴在权重上的线性等价，并将此扩展至有理与对数情形下的张量等价，包括对数交织算子空间的同构以及通过海森堡共线的简单电流扩张对融合规则的分类。

ABSTRACT

Based on the Kazama-Suzuki type coset construction and its inverse coset between the subregular $\mathcal{W}$-algebras for $\mathfrak{sl}_n$ and the principal $\mathcal{W}$-superalgebras for $\mathfrak{sl}_{1|n}$, we prove weight-wise linear equivalences of their representation categories. Our main results are then improvements of these correspondences incorporating the monoidal structures. Firstly, in the rational case, we obtain the classification of simple modules and their fusion rules via simple current extensions from their Heisenberg cosets. Secondly, beyond the rational case, we use certain kernel VOAs together with relative semi-infinite cohomology functors to get functors from categories of modules for the subregular $\mathcal{W}$-algebras for $\mathfrak{sl}_n$ to categories of modules for the principal $\mathcal{W}$-superalgebras for $\mathfrak{sl}_{1|n}$ and vice versa. We study these functors and in particular prove isomorphisms between the superspaces of logarithmic intertwining operators. As a corollary, we obtain correspondences of representation categories in the monoidal sense beyond the rational case as well.

研究动机与目标

• 建立$\mathfrak{sl}_n$的次正则$\mathcal{W}$代数与$\mathfrak{sl}_{1|n}$的主$\mathcal{W}$超代数表示范畴之间的对应关系。
• 将已知的共线构造扩展至有理情形之外的张量结构。
• 通过相对半无限上同调证明对数交织算子超空间之间的同构。
• 通过海森堡共线的简单电流扩张，对有理情形下的简单模及其融合规则进行分类。

提出的方法

• 利用Kazama–Suzuki型共线构造及其逆，关联$\mathcal{W}^k(\mathfrak{sl}_n, f_{\text{subreg}})$与$\mathcal{W}^\ell(\mathfrak{sl}_{1|n}, f_{\text{prin}})$。
• 应用相对半无限上同调函子，构造两个代数模范畴之间的张量等价。
• 使用某种核顶点算子代数，实现两个代数表示范畴之间的函子。
• 运用顶点超代数扩张理论与简单电流扩张理论，对有理情形下的模进行分类并计算融合规则。
• 利用Frenkel–Kac构造与共形嵌入，实现格点顶点代数及其分解。
• 应用$L_1(\mathfrak{sl}_{nm})$作为$L_m(\mathfrak{sl}_n) \otimes L_n(\mathfrak{sl}_m)$模的分支法则，推导表示环中的分解公式与同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在有理情形之外，建立$\mathfrak{sl}_n$的次正则$\mathcal{W}$代数与$\mathfrak{sl}_{1|n}$的主$\mathcal{W}$超代数表示范畴之间的张量等价？
• RQ2 在所提出的对应关系下，对数交织算子如何变换？
• RQ3 在有理情形下，简单模的融合规则结构如何？能否从海森堡共线中导出？
• RQ4 该对应关系能否通过上同调函子扩展至对数模？
• RQ5 核顶点代数在实现两个范畴之间张量等价的过程中起什么作用？

主要发现

• 本文通过共线构造，建立了$\mathcal{W}^k(\mathfrak{sl}_n, f_{\text{subreg}})$与$\mathcal{W}^\ell(\mathfrak{sl}_{1|n}, f_{\text{prin}})$表示范畴之间的权重线性等价。
• 在有理情形下，通过海森堡共线的简单电流扩张，实现了简单模及其融合规则的分类。
• 相对半无限上同调函子诱导出两个代数模范畴之间的张量函子，提供了范畴上的对应关系。
• 证明了对数交织算子超空间之间的同构，确认了对数情形下的张量等价。
• 识别出核顶点代数$\mathcal{E}_{m,n}$为$L_n(\mathfrak{sl}_m) \otimes V_{\sqrt{nm}\mathbb{Z}}$的阶$m$简单电流扩张，从而实现了对应关系的构造。
• 导出了表示环同构$\mathcal{K}(L_m(\mathfrak{sl}_n)) \simeq (\mathcal{K}(L_n(\mathfrak{sl}_m)) \otimes_{\mathbb{Z}[\mathbb{Z}_m]} \mathbb{Z}[\mathbb{Z}_{nm}])^{\mathbb{Z}_m}$，其中$L_m(\lambda) \mapsto L_n(\lambda^t) \otimes [\ell(\lambda)]$。