[论文解读] Rationality and Fusion Rules of Exceptional W-Algebras

Tomoyuki Arakawa, Jethro van Ekeren|arXiv (Cornell University)|May 27, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 68被引用 24

一句话总结

本文证明了通过典型仿射顶点代数的哈密顿约化得到的一类广义例外W代数的特征函数模不变性与有理性。它首次建立了与非主幂零元相关的有理W代数的例子，计算了其S矩阵和融合规则，并验证了Kac-Wakimoto关于A型例外W代数及单连通型中光滑次正则W代数的模不变性猜想。

ABSTRACT

First, we prove the Kac-Wakimoto conjecture on modular invariance of characters of exceptional affine W-algebras. In fact more generally we prove modular invariance of characters of all lisse W-algebras obtained through Hamiltonian reduction of admissible affine vertex algebras. Second, we prove the rationality of a large subclass of these W-algebras, which includes all exceptional W-algebras of type A and lisse subregular W-algebras in simply laced types. Third, for the latter cases we compute S-matrices and fusion rules. Our results provide the first examples of rational W-algebras associated with non-principal distinguished nilpotent elements, and the corresponding fusion rules are rather mysterious.

研究动机与目标

• 证明Kac-Wakimoto关于例外W代数特征函数模不变性的猜想。
• 建立通过哈密顿约化在允许水平下得到的W代数一大子类的有理性。
• 计算单连通型中光滑次正则W代数及A型例外W代数的S矩阵与融合规则。
• 首次系统构造与非主幂零元相关的有理W代数。
• 验证此类W代数的Ramond扭Zhu代数为半单，从而确保迹函数的模不变性。

提出的方法

• 利用哈密顿约化从允许水平的典型仿射顶点代数构造W代数，水平为 $k = -h^\vee + p/q$。
• 应用主权重与互质允许权重理论，分析不可约模的可积性条件。
• 计算Ramond扭Zhu代数 $A(\mathscr{W})$ 并证明其半单性。
• 采用迹函数 $S_{\mathbf{L}_i}(\tau \mid u) = \operatorname{Tr}_{\mathbf{L}_i}(u_0 q^{L_0 - c/24})$，在 $SL_2(\mathbb{Z})$ 作用下建立模不变性。
• 利用幂零元 $f$ 的良好偶数分次，将 $\mathscr{W}_k(\mathfrak{g},f)$ 的结构与 $\mathfrak{g}_0$ 的可积表示联系起来。
• 通过S矩阵与$SL_2(\mathbb{Z})$在模范畴上的作用，显式计算融合规则。

实验结果

研究问题

• RQ1 例外W代数的特征函数是否在 $SL_2(\mathbb{Z})$ 作用下模不变？
• RQ2 当水平为允许值且$(f,q)$为例外对时，简单商代数 $\mathscr{W}_k(\mathfrak{g},f)$ 是否有理且光滑？
• RQ3 单连通型中光滑次正则W代数及A型例外W代数的融合规则是什么？
• RQ4 能否为与非主幂零元相关的W代数建立有理性？
• RQ5 S矩阵与$SL_2(\mathbb{Z})$的模表示如何作用于这些W代数的模范畴？

主要发现

• 对所有 $u \in \mathscr{W}$ 及所有不可约Ramond扭模 $\mathbf{L}_i$，迹函数 $S_{\mathbf{L}_i}(\tau \mid u)$ 的模不变性已得证。
• 当 $k = -h^\vee + p/q$ 为允许水平且 $f \in \mathbb{O}_q$ 时，Ramond扭Zhu代数 $A(\mathscr{W})$ 对所有 $\mathscr{W} = \mathscr{W}_k(\mathfrak{g},f)$ 均为半单。
• 当 $f$ 允许良好偶数分次，且所有 $[\Pr^k_{\mathbb{O}_q}]$ 关于 $\mathfrak{g}_0$ 可积时，$\mathscr{W}_k(\mathfrak{g},f)$ 的有理性与光滑性得以确立。
• 当 $\mathfrak{g} = E_7$，$k = -135/8$ 时，顶点代数 $V_7$ 有13个不可约模，其融合规则由 $13 \times 13$ 矩阵 $F_i$ 编码。
• 模 $M_{12}$ 是阶为2、共形维数为 $3/2$ 的简单电流，其作用等同于权重上的图自同构 $\sigma$。
• 计算出量子维数：$\operatorname{qdim}([5_+]) = \zeta^8 + \zeta^6 + \zeta^5 + \zeta^3 + 1$ 与 $\operatorname{qdim}([5_-]) = \zeta^8 + \zeta^6 + \zeta^5 + \zeta^3 + 1$，其中 $\zeta = e^{2\pi i/9}$。