[论文解读] Corrigendum for "Second-order reflected backward stochastic differential equations" and "Second-order BSDEs with general reflection and game options under uncertainty"

Anis Matoussi, Dylan Possamaï+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 20被引用 6

一句话总结

本文修正了二阶反射倒向随机微分方程（2RBSDEs）及其双反射扩展（2DRBSDEs）中最小性条件的关键缺陷，此前该缺陷破坏了唯一性和先验估计的有效性。作者提出一种类似Skorokhod的最小性条件，并在下障碍满足振荡性假设的额外条件下，证明该条件可确保唯一性和适定性，与近期$G$-框架下的结果一致，恢复了其前期工作中关键结果的有效性。

ABSTRACT

The aim of this short note is to fill in a gap in our earlier paper [16] on 2BSDEs with reflections, and to explain how to correct the subsequent results in the second paper [15]. We also provide more insight on the properties of 2RBSDEs, in the light of the recent contributions [13, 23] in the so--called $G-$framework.

研究动机与目标

• 识别并修正作者前期工作中二阶反射BSDEs（2RBSDEs）最小性条件中的缺陷，该缺陷导致唯一性证明失效。
• 证明基于障碍物振荡性假设的Skorokhod型最小性条件，可产生与原始有缺陷条件相同的解。
• 由于最小性条件的修正，重新审视后续论文中关于双反射2BSDEs（2DRBSDEs）的结果，特别是先验估计与动态规划原理。
• 展示与近期$G$-框架下关于反射$G$-BSDEs的结果的一致性，表明两种最小性概念等价。
• 验证2DRBSDEs在波动率不确定性下对博弈期权定价的超对冲策略有效性，确保在模糊集内所有测度下均成立。

提出的方法

• 识别[21]中原始最小性条件（2.6）的缺陷，该条件未能确保$K^{\mathbb{P}'} - k^{\mathbb{P}'}$的非递减性。
• 提出一种基于Skorokhod型条件的新最小性条件，通过振荡性假设（假设2.1），确保当$Y_{t^-} = L_{t^-}$时$K^{\mathbb{P}}$非递减。
• 利用生成器$F$的Lipschitz性质及$\mathbb{D}^{2,\kappa}_H$-范数的结构，证明新条件与原始有缺陷条件产生相同的解。
• 通过以$\mathbb{D}^{2,\kappa}_H$-范数控制有变差过程，而非其总变差，来修正[20]中的先验估计。
• 借助[26]与[23]的结果，将存在性结果推广至一般$\xi \in \mathbb{L}^{2,\kappa}_H$，克服了此前对一致连续终端条件的限制。
• 重新表述动态规划原理，删除无效论述（如[20]中的引理3.9与3.12），并将命题3.10中的常数$\gamma$设为0。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何[21]中原始最小性条件无法在2RBSDEs中确保唯一性？
• RQ2 Skorokhod型最小性条件能否替代原始条件，同时保持解与唯一性不变？
• RQ3 为使Skorokhod型条件与原始条件产生相同解，还需哪些额外假设？
• RQ4 修正后的最小性条件如何影响双反射情形下[20]中的先验估计与动态规划原理？
• RQ5 修正后的2DRBSDEs在多大程度上仍能为波动率不确定性下的博弈期权提供超对冲策略？

主要发现

• 原始最小性条件（2.6）在[21]中无法确保$K^{\mathbb{P}'} - k^{\mathbb{P}'}$为非递减，从而导致唯一性证明失效。
• 新提出的Skorokhod型最小性条件在障碍物$L$满足振荡性假设（假设2.1）时，可确保唯一性，并产生与原始条件相同的解。
• [20]中的先验估计已修正：不再控制有变差过程的总变差，而是控制其$\mathbb{D}^{2,\kappa}_H$-范数。
• [20]中的引理3.9与引理3.12已失效，必须删除；在命题3.10中，常数$\gamma$必须设为0。
• [20]中的存在性结果已通过利用[26]与[23]的结果，推广至所有$\xi \in \mathbb{L}^{2,\kappa}_H$，不再需要一致连续性假设。
• 2DRBSDEs与波动率不确定性下博弈期权超对冲策略之间的联系仍然有效，尽管最优价格尚未证明，但预期成立。