[论文解读] Corruption Robust Phase Retrieval via Linear Programming

Paul Hand, Vladislav Voroninski|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2016

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 8被引用 16

一句话总结

该论文提出 RobustPhaseMax，一种用于相位恢复的线性规划方法，可在存在最多 Ω(n) 个任意损坏的测量值时，从 O(n) 个受污染的高斯幅值测量值中精确恢复实向量。通过在 PhaseMax 中引入带惩罚的松弛变量，该方法利用最优性条件的直接分析与浓度不等式，以高概率实现精确恢复。

ABSTRACT

We consider the problem of phase retrieval from corrupted magnitude observations. In particular we show that a fixed $x_0 \in \mathbb{R}^n$ can be recovered exactly from corrupted magnitude measurements $|\langle a_i, x_0 angle | + η_i, \quad i =1,2\ldots m$ with high probability for $m = O(n)$, where $a_i \in \mathbb{R}^n$ are i.i.d standard Gaussian and $η\in \mathbb{R}^m$ has fixed sparse support and is otherwise arbitrary, by using a version of the PhaseMax algorithm augmented with slack variables subject to a penalty. This linear programming formulation, which we call RobustPhaseMax, operates in the natural parameter space, and our proofs rely on a direct analysis of the optimality conditions using concentration inequalities.

研究动机与目标

• 解决在成像和信号恢复中常见的幅度测量值中存在任意损坏情况下的相位恢复问题。
• 开发一种计算上可行的方法，直接在自然参数空间中运行，避免先前凸方法（如 PhaseLift）所采用的高维升维技术。
• 在测量值受稀疏任意噪声污染时，实现样本复杂度最优 m = O(n) 的精确恢复。
• 通过最优性条件的直接分析与浓度不等式，为对异常值的鲁棒性提供理论保证。
• 将 PhaseMax 框架扩展至处理超出有界无穷范数噪声的现实噪声模型，包括稀疏损坏。

提出的方法

• 通过引入非负松弛变量，将 PhaseMax 的线性规划问题扩展以建模受污染的测量值。
• 对松弛变量之和施加惩罚，以在损坏模型中鼓励稀疏性。
• 将 RobustPhaseMax 制成自然参数空间中的凸优化问题，避免矩阵升维。
• 利用浓度不等式分析最优性条件，并推导出高概率恢复保证。
• 利用谱初始化方法（例如来自中值截断 Wirtinger 流）提供一个相关联的锚向量用于初始化。
• 通过在扰动和邻域上对测量算子的 1-范数进行有界，分析损坏下的可行集行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在保持最优样本复杂度的前提下，使相位恢复对幅度测量值中的任意稀疏损坏具有鲁棒性？
• RQ2 是否可能在自然参数空间中通过凸规划实现精确恢复，而无需升维至更高维的矩阵空间？
• RQ3 能否将 PhaseMax 框架扩展以处理超出有界噪声的现实噪声模型，例如稀疏损坏？
• RQ4 在稀疏损坏下，精确恢复所需的理论样本复杂度是多少？是否能以高概率实现？
• RQ5 浓度不等式与最优性条件分析如何在对抗性损坏存在时提供鲁棒性保证？

主要发现

• RobustPhaseMax 可从 m = O(n) 个独立同分布的标准高斯幅值测量值中精确恢复固定的实向量 x₀ ∈ ℝⁿ，即使 Ω(n) 个测量值被任意损坏。
• 在 m ≥ 2c₀n 且 c₀ 足够大的条件下，该方法以至少 1 - 5me^(-γm/4) 的概率实现高概率精确恢复，其中 γ > 0。
• 该分析依赖于对扰动上测量算子 1-范数的有界性，表明在适当条件下，可行集对损坏保持鲁棒。
• 涉及受污染测量值的内积项的期望值下界为 0.597‖x₀‖₂‖x₁‖₂，确保恢复所需的足够信号强度。
• 在存在稀疏损坏时，该方法优于传统 PhaseMax，因为 PhaseMax 的可行集在该条件下可能迅速缩小。
• 理论保证通过 ε-网上的并集界与浓度不等式推导得出，建立了对损坏与初始化误差的鲁棒性。