[论文解读] Coverage Probability of Random Intervals

Xinjia Chen|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2007

Bayesian Modeling and Causal Inference参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文提出了一套通用理论，用于计算由离散随机变量定义、参数空间连续的随机区间的最小覆盖概率。研究证明，对于单调区间估计量，最坏情况下的覆盖概率出现在离散点上——具体而言，即区间端点以及区间边界穿过参数范围的参数值处——从而使得对二项分布、泊松分布、负二项分布和超几何分布的统计推断更加精确且不那么保守。

ABSTRACT

In this paper, we develop a general theory on the coverage probability of random intervals defined in terms of discrete random variables with continuous parameter spaces. The theory shows that the minimum coverage probabilities of random intervals with respect to corresponding parameters are achieved at discrete finite sets and that the coverage probabilities are continuous and unimodal when parameters are varying in between interval endpoints. The theory applies to common important discrete random variables including binomial variable, Poisson variable, negative binomial variable and hypergeometrical random variable. The theory can be used to make relevant statistical inference more rigorous and less conservative.

研究动机与目标

• 建立一个严格框架，用于分析具有连续参数的离散分布中随机区间的最坏情况覆盖概率。
• 解决经典置信区间方法中存在的局限性，即由于离散抽样分布而常导致覆盖概率过于保守。
• 精确定位最小覆盖概率发生的参数值集合，从而实现对最坏情况性能的精确计算。
• 将结果推广至关键的离散分布，包括二项分布、泊松分布、负二项分布和超几何分布。
• 通过用精确的最坏情况边界替代保守近似，支持更准确的样本量确定和统计推断。

提出的方法

• 推导随机区间覆盖概率函数关于参数连续且单峰的理论条件。
• 对充分统计量 $k$ 的区间边界 $L(k)$ 和 $U(k)$ 施加单调性约束，以确保分析的可处理性。
• 识别关键参数值——$a$、$b$ 以及满足 $L(k)$ 或 $U(k)$ 属于 $(a,b)$ 的点——作为最小覆盖概率的唯一候选点。
• 运用集合论和概率论论证，证明在参数空间中连续关键点之间，覆盖概率保持单峰性。
• 使用辅助函数 $C(p)$、$C_U(p)$ 和 $C_L(p)$ 计算闭区间 $[L,U]$ 的精确下确界。
• 利用区间等价性和概率质量行为的引理，证明覆盖概率在参数区间上的单峰性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有连续参数的离散分布中，随机区间的覆盖概率在参数空间的何处达到最小？
• RQ2 如何精确计算最坏情况下的覆盖概率，而非保守地近似？
• RQ3 覆盖概率函数关于参数呈现单峰性的条件是什么？
• RQ4 对于单调区间估计量，最小覆盖概率是否可被限制在有限且可计算的参数值集合中？
• RQ5 这些结果如何推广至不同的离散分布，如二项分布、泊松分布、负二项分布和超几何分布？

主要发现

• 随机区间的最小覆盖概率出现在一个离散且有限的点集中：区间端点 $a$ 和 $b$，以及所有满足 $L(k) = p$ 或 $U(k) = p$ 的参数值 $p$。
• 对于单调的 $L(k)$ 和 $U(k)$，覆盖概率 $\Pr\{L(K) < p < U(K) \mid p\}$ 在连续关键点之间的参数区间内关于 $p$ 是连续且单峰的。
• 对于闭区间 $[L,U]$，覆盖概率的下确界为 $\{C(a), C(b)\} \cup \{C_U(p)\} \cup \{C_L(p)\}$ 在指定离散集合上的最小值。
• 该理论适用于所有标准离散分布：二项分布、泊松分布、负二项分布和超几何分布，前提是区间边界的单调性成立。
• 该结果使得最坏情况覆盖概率的精确计算成为可能，从而减少了经典置信区间的保守性。
• 覆盖概率的单峰性确保了通过仅评估有限个点，即可高效地完成参数空间上的优化。