[论文解读] Critical exponent for geodesic currents

Olivier Glorieux|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 5被引用 3

一句话总结

该论文通过测量与给定当前的闭曲线交点数不超过 R 的闭曲线数量的指数增长速率，定义了双曲面上测地线当前的临界指数。证明了对于填充分流，该临界指数等于与闭曲线交点函数的指数增长速率，推广了关于双曲度量的经典结果，并通过与当前关联的拟度量建立了度量结构。

ABSTRACT

For any geodesic current we associated a quasi-metric space. For a subclass of geodesic currents, called filling, it defines a metric and we study the critical exponent associated to this space. We show that is is equal to the exponential growth rate of the intersection function for closed curves.

研究动机与目标

• 通过与闭曲线的交点函数定义测地线当前的临界指数。
• 通过为每个当前关联一个拟度量，在测地线当前的空间上建立度量结构。
• 证明对于填充分流，临界指数等于与闭曲线交点函数的指数增长速率。
• 将负曲率几何中临界指数的经典结果推广到更广泛的测地线当前设定。

提出的方法

• 将测地线临界指数 δ₉^η 定义为当 R → ∞ 时，(1/R) log(Card{c ∈ C | i(η,c) ≤ R}) 的上极限。
• 通过闭曲线 c 的交点函数 i(η,c)，为每个测地线当前 η 关联一个拟度量 dₙ。
• 利用基本群 Γ 在双曲平面边界上的作用，对群元素的轴进行归一化。
• 通过一个固定的双曲元素 r ∈ Γ 进行归一化，以控制轴相对于固定紧集 N 的位置。
• 利用覆盖和转移长度估计，通过拟度量中的三角不等式，对交点有界的群元素数量进行有界。
• 证明那些轴避开固定邻域对的元素在数量上是稀少的，从而实现计数函数与临界指数之间的比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过与闭曲线交点函数定义的临界指数是否与填充分流的计数函数的指数增长速率一致？
• RQ2 能否通过其交点函数自然地为测地线当前关联一个度量结构？
• RQ3 利乌维尓当前的临界指数与双曲度量的经典临界指数有何关系？
• RQ4 与给定测地线当前交点有界的闭曲线数量的渐近行为如何？
• RQ5 临界指数是否在构造中对归一化或基点的选择具有不变性？

主要发现

• 对于任意填充分流 η，测地线临界指数 δ₉^η 等于满足 i(η,c) ≤ R 的闭曲线 c 的数量的指数增长速率。
• 临界指数 δ₉^η 对所有测地线当前均有定义且有限，等于当 R → ∞ 时，(1/R) log(Card{c ∈ C | i(η,c) ≤ R}) 的上极限。
• 该构造从任意测地线当前产生一个拟度量空间，当当前为填充分流时则产生一个度量空间。
• 满足 i(η, [γ]) ≤ R 的群元素 γ ∈ Γ 的数量以速率 δ₉^η 指数增长，且该速率是精确的。
• 证明表明，其轴避开固定邻域对的元素在数量上可忽略，从而实现了计数函数的比较。
• 该结果将双曲度量情形下的经典等式 δ = δ₉ 推广到测地线当前的设定，包括利乌维尓当前以及来自 AdS 准弗里克斯曼流形的当前。