[论文解读] Crystalline representations of G_Qp^a with coefficients

Hui June Zhu|ArXiv.org|Jul 7, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文为具有 $p$-进域 $E$ 系数的 $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}_{p^a}/\mathbb{Q}_{p^a})$ 的晶体表示建立了 Fontaine-Laffaille 型对应关系，证明了当 $\sigma$-不变的 Hodge-Tate 重量小于 $p-1$ 时，晶体表示中的 Galois-稳定格与强可除 $\varphi$-格之间存在双射。本文对 2 维晶体表示及其模 $p$ 约化进行了分类，将 Deligne、Fontaine-Serre 和 Edixhoven 的结果推广至满足此条件的 Hilbert 模形式。

ABSTRACT

This paper studies crystalline representations of G_K with coefficients of any dimension, where K is the unramified extension of Q_p of degree a. We prove a theorem of Fontaine-Laffaille type when σ-invariant Hodge-Tate weight less than p-1, which establishes the bijection between Galois stable lattices in crystalline representations and strongly divisible ϕ-lattice. In generalizing Breuil's work, we classify all reducible and irreducible crystalline representations of G_K of dimensional 2, then describe their mod p reductions. We generalize some results (of Deligne, Fontaine-Serre, and Edixhoven) to representations arising from Hilbert modular forms when σ-invariant Hodge-Tate weight less than p-1.

研究动机与目标

• 将 Fontaine-Laffaille 理论推广至具有包含 $\mathbb{Q}_{p^a}$ 的 $p$-进域 $E$ 系数的晶体表示，将经典对应关系推广至高维及系数适配的设定。
• 对 $G_{\mathbb{Q}_{p^a}}$ 的所有不可约与可约 2 维晶体表示进行分类，并描述其模 $p$ 约化。
• 在 $\sigma$-不变的 Hodge-Tate 重量小于 $p-1$ 的条件下，将 Deligne、Fontaine-Serre 和 Edixhoven 关于 Hilbert 模形式的 Galois 表示模 $p$ 约化的结果进行推广。
• 通过 $\mathrm{GL}_d(\mathcal{O}_K)/\sim_{\sigma,\mathbf{k}}$ 与具有指定 Hodge 多边形 $\mathbf{k}$ 的晶体表示的同构类之间的结构双射，构造晶体表示。

提出的方法

• 通过双射 $\Theta: \mathrm{GL}_d(\mathcal{O}_K)/\sim_{\sigma,\mathbf{k}} \to \mathrm{Rep}_{\mathrm{cris}/E}^{\mathbf{k}}(G_K)$ 构造晶体表示，其中 $\mathrm{GL}_d(\mathcal{O}_K)$ 中的每个矩阵 $A$ 通过其在具有指定 Hodge-Tate 重量的过滤 $\varphi$-模上的作用定义一个表示。
• 定义嵌入的强可除 $\varphi$-格，并利用具有 $\sigma$-不变变化的 Newton 多边形与 Hodge 多边形分析过滤 $\varphi$-模的结构。
• 应用嵌入的 Wach 模及其连续性性质，以提升模 $p$ 约化并研究约化上的 $\varphi$-作用，特别是在 2 维情形下。
• 通过在 $\mathbb{F}_p((\pi))$ 中证明 $\varphi^a$ 的特征方程无解，利用 $\varphi$-作用于 Wach 模的模 $p$ 约化来证明不可约性。
• 利用模 $p$ 约化的行列式识别关联特征标 $\omega_{2a}^{\sum k_j p^j}$，将 Galois 表示与模 $p$ 单位根特征标的扭联系起来。
• 通过基变换将表示的模 $p$ 约化与两个特征标的直和进行比较，证明 $\overline{V}|_{I_K} \cong \omega_{2a}^{\sum k_j p^j} \oplus \omega_{2a}^{p^a \sum k_j p^j}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有 $p$-进域 $E$ 系数的晶体表示存在 Fontaine-Laffaille 型对应关系？
• RQ2 如何对 $G_{\mathbb{Q}_{p^a}}$ 的所有 2 维晶体表示进行分类，其模 $p$ 约化为何？
• RQ3 在何种条件下，晶体表示的模 $p$ 约化仅依赖于 Hodge-Tate 重量，而不依赖于格的选择？
• RQ4 在 $\sigma$-不变的 Hodge-Tate 重量小于 $p-1$ 的条件下，Deligne、Fontaine-Serre 和 Edixhoven 的结果如何推广至 Hilbert 模形式的 Galois 表示？

主要发现

• 构造了双射 $\Theta: \mathrm{GL}_d(\mathcal{O}_K)/\sim_{\sigma,\mathbf{k}} \to \mathrm{Rep}_{\mathrm{cris}/E}^{\mathbf{k}}(G_K)$，明确地将 $\mathrm{GL}_d(\mathcal{O}_K)$ 中的矩阵与具有指定 Hodge 多边形 $\mathbf{k}$ 的晶体表示联系起来。
• 当 $\sigma$-不变的 Hodge-Tate 重量小于 $p-1$ 时，函子 $\mathbf{D}_{\mathrm{cris}}^*$ 在晶体表示中的 Galois-稳定格与关联过滤 $\varphi$-模中的强可除 $\varphi$-格之间诱导出双射。
• 对于满足 $\mathrm{ord}_p(\vec{v}) > 0$ 的 2 维晶体表示 $V_{{\vec{k}},\vec{v},\vec{1}}$，其模 $p$ 约化满足 $\overline{V}_{{\vec{k}},\vec{v},\vec{1}} \cong \overline{V}_{{\vec{k}},{\vec{0}},\vec{1}}$，表明在此条件下对 $\vec{v}$ 的独立性。
• 模 $p$ 约化 $\overline{V}_{{\vec{k}},{\vec{0}},\vec{1}}$ 作为 $\mathbb{F}_p((\pi))^{\mathrm{sep}}$ 上的 étale $(\varphi,\Gamma)$-模是不可约的，通过证明 $\varphi^a$ 的特征方程在 $\mathbb{F}_p((\pi))$ 中无解来证明。
• 限制到惯性群 $I_K$ 时，$\overline{V}_{{\vec{k}},{\vec{0}},\vec{1}}$ 同构于 $\omega_{2a}^{\sum k_j p^j} \oplus \omega_{2a}^{p^a \sum k_j p^j}$，明确地将模 $p$ Galois 表示识别为两个特征标的直和。