[论文解读] Cubical models of $(\infty, 1)$-categories

Brandon Doherty, Chris Kapulkin+2 more|arXiv (Cornell University)|May 11, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文在带连接的立方集上构建了一个模型结构，其中纤维丛为单射，纤维对象由填充内部开方块（内霍恩的立方模拟）的右提升性质定义。该立方模型结构通过三角剖分函子与单纯集上的Joyal模型结构之间建立了Quillen等价性，并表明纤维立方对象之间的弱等价正是Dwyer-Kan等价，从而实现了映射空间的良好定义。

ABSTRACT

We construct a model structure on the category of cubical sets with connections whose cofibrations are the monomorphisms and whose fibrant objects are defined by the right lifting property with respect to inner open boxes, the cubical analogue of inner horns. We show that this model structure is Quillen equivalent to the Joyal model structure on simplicial sets via the triangulation functor. As an application, we show that cubical quasicategories admit a convenient notion of a mapping space, which we use to characterize the weak equivalences between fibrant objects in our model structure as DK-equivalences.

研究动机与目标

• 开发一个类似于单纯集上Joyal模型结构的(∞,1)-范畴的立方模型结构。
• 通过内开方块（内霍恩的立方模拟）的右提升性质来定义立方集中的纤维对象。
• 在新构造的立方模型结构与单纯集上的Joyal模型结构之间建立Quillen等价性。
• 为立方拟范畴中的映射空间提供自然的定义，从而将弱等价表征为DK等价。
• 证明三角剖分函子通过“在点上的直立函子”作为关键技术工具，诱导出立方与单纯模型之间的Quillen等价。

提出的方法

• 使用Jeff Smith定理，在标记立方集上构造模型结构，其中边被标记以表示等价关系。
• 使用最小标记函子从标记模型结构左诱导出立方集上的模型结构。
• 将内开方块定义为内霍恩的立方模拟，以捕捉纤维对象的正确填充条件。
• 引入立方锥理论，以关联单纯与立方形状，推广“在点上的直立”构造。
• 通过直立函子Q: sSet → cSet建立Quillen等价性，证明其为Quillen等价，并且其导出函子与三角剖分函子T的导出函子互为逆。
• 利用盒子范畴中连接的存在，确保立方与单纯映射空间之间的兼容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在立方集上构造一个模型结构，使得纤维对象由填充内开方块（类似于单纯集中的内霍恩）的性质表征？
• RQ2 该立方模型结构是否与单纯集上的Joyal模型结构Quillen等价？
• RQ3 该立方模型是否具有明确定义的映射空间概念，使得纤维对象之间的弱等价可表征为DK等价？
• RQ4 三角剖分函子是否可作为立方与单纯模型之间(∞,1)-范畴的Quillen等价？
• RQ5 盒子范畴中的连接在确保立方与单纯同伦理论之间兼容性方面起什么作用？

主要发现

• 构造了一个带连接的立方集上的模型结构，其中纤维丛为单射，纤维对象由对内开方块的右提升性质定义。
• 该模型结构通过三角剖分函子T: cSet → sSet与单纯集上的Joyal模型结构之间建立了Quillen等价。
• 纤维立方对象之间的弱等价正是DK等价，确认了同伦理论的正确性。
• 三角剖分函子T是Quillen等价，通过间接证明“在点上的直立函子”Q: sSet → cSet为Quillen等价且其导出函子互为逆而确立。
• 立方锥理论提供了一个关联单纯与立方形状的一般框架，具有超越本工作的潜在应用。
• 该构造适用于盒子范畴的四种变体（无连接、一个连接或两个连接），但立方与单纯映射空间之间的完整比较需要两个连接。