[论文解读] Current algebras from QP-manifolds in general dimensions

Noriaki Ikeda, Xiaomeng Xu|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 34被引用 8

一句话总结

本文提出了一种统一的超几何框架，用于量子场论中当前代数的构造，采用QP-流形和在分次辛结构上的导出括号。通过在从超流形到映射空间的构造中应用典范变换和扭曲的导出括号，系统地推导出包含和不包含异常项的当前代数，包括高阶代数胚结构，推广了已知情形如Kac-Moody代数和Courant代数胚当前代数。

ABSTRACT

We propose a new unified formulation of the current algebra theory in general dimensions in terms of supergeometry. We take a QP-manifold, i.e. a differential graded (dg) symplectic manifold, as a fundamental framework. A Poisson bracket in a current algebra is constructed by the so called derived bracket of the graded Poisson structure induced from the above QP-structure. By taking a canonical transformation on a QP-manifold, correct anomalous terms in physical theories are derived. A large class of current algebras with and without anomalous terms (central extensions) are constructed from the above structure. Moreover, using this formulation, a new class of current algebras related higher structures are systematically obtained.

研究动机与目标

• 开发一个适用于量子场论中当前代数（包括异常项）的一般几何框架。
• 在单一超几何形式中统一已知的当前代数类型，如Kac-Moody代数和Courant代数胚类型。
• 通过分次辛几何系统地推导出具有高阶代数胚结构的当前代数。
• 通过扭曲QP-结构和典范变换，为异常项提供几何起源。
• 通过超流形的映射空间，将AKSZ形式拓展至当前代数理论。

提出的方法

• 该框架使用QP-流形，特别是余切丛 $T^*[n+1]\mathcal{M}$ 上的分次辛结构，作为基本几何设定。
• 当前代数通过扩展映射空间 $\mathrm{Map}(T[1]\Sigma_n, T^*[n+1]\mathcal{M})$ 上函数的导出括号构造，其中 $\Sigma_n$ 是一个 $n$-维流形。
• 异常项源于通过一个度数为2的典范函数 $\alpha$（如 $\alpha = \frac{1}{2}\pi^{IJ}(x)p_I p_J$）对底层分次辛结构进行扭曲。
• 扭曲的导出括号 $\{\{\{J_1, \Theta\}_b, J_2\}_b\}$ 在目标空间 $\mathcal{M}$ 上生成小泊松括号，编码了当前代数。
• 使用一种称为扭曲拉回的典范变换，将扩展空间上的泊松代数与基空间上的当前代数联系起来。
• 该形式体系被证明可重现已知的当前代数，包括来自AKSZ sigma模型的代数，并可生成具有高阶代数胚结构的新类。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从统一的几何框架中系统地推导出包含异常项的当前代数？
• RQ2 QP-结构和导出括号在一般维度中构造当前代数时起什么作用？
• RQ3 如Courant代数胚中的高阶代数胚结构如何自然地从该形式体系中涌现？
• RQ4 AKSZ形式能否被拓展以描述超出标准sigma模型的当前代数？
• RQ5 在此背景下，广义Maurer-Cartan方程 $\partial_K \pi^{IJ} + \pi^{IL}\pi^{JM}H_{LMK} = \pi^{IJ} \pi^{KL} H_{LMN} \pi^{MN}$ 的几何意义是什么？

主要发现

• 在 $\mathrm{Map}(T[1]\Sigma_n, T^*[n+1]\mathcal{M})$ 上的导出括号构造产生了一个包含来自扭曲QP-结构的异常项的电流泊松代数。
• 扭曲的导出括号 $\{\{\{J^I, \Theta\}_b, J^J\}_b\}$ 在 $\mathcal{M}$ 上生成一个非平凡的当前代数，其结构常数涉及 $\partial_K \pi^{IJ} + \pi^{IL}\pi^{JM}H_{LMK}$。
• 条件 $\frac{\partial\pi^{IJ}}{\partial x^K} + \pi^{IL}\pi^{JM}H_{LMK} = \pi^{IJ}\pi^{KL}H_{LMN}\pi^{MN}$ 确保 $\alpha = \frac{1}{2}\pi^{IJ}p_I p_J$ 为典范函数，从而导出一致的扭曲泊松结构。
• 该形式体系在 $\mathcal{M}$ 为李群且 $\pi$ 为泊松二阶张量时，作为特例重现了 $(1+1)$ 维中的Kac-Moody代数。
• 通过该框架系统地构造出具有高阶代数胚结构的新当前代数，如来自 $p$-膜sigma模型的代数。
• 在 $TM \oplus T^*M$ 上的Dirac结构作为大泊松括号的交换子代数出现，证实其在广义当前代数中的作用。