[论文解读] Cyclic cohomology of certain nuclear Fréchet and DF algebras

Zinaida A. Lykova|ArXiv.org|Apr 8, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文为核弗雷chet和DF代数（包括张量代数、科赫代数以及紧李群上光滑函数与分布的代数）的连续Hochschild同调与循环同调建立了明确的拓扑同构类。通过在核DF空间中运用同调代数技术，并证明同调同构自动为拓扑同构，该研究将已知的巴拿赫代数结果推广至更广泛的拓扑代数类别。

ABSTRACT

We give explicit formulae for the continuous Hochschild and cyclic homology and cohomology of certain topological algebras. To this end we show that, for a continuous morphism $ϕ: \X o \Y$ of complexes of complete nuclear $DF$-spaces, the isomorphism of cohomology groups $H^n(ϕ): H^n(\X) o H^n(\Y)$ is automatically topological. The continuous cyclic-type homology and cohomology are described up to topological isomorphism for the following classes of biprojective $\hat{\otimes}$-algebras: the tensor algebra $E \hat{\otimes} F$ generated by the duality $(E, F, < \cdot, \cdot >)$ for nuclear Fréchet spaces $E$ and $F$ or for nuclear $DF$-spaces $E$ and $F$; nuclear biprojective Köthe algebras $λ(P)$ which are Fréchet spaces or $DF$-spaces; the algebra of distributions $\mathcal{E}^*(G)$ on a compact Lie group $G$.

研究动机与目标

• 将连续Hochschild与循环（同）调理论从巴拿赫代数推广至更广泛的拓扑代数类别，特别是核弗雷chet与DF代数。
• 解决在巴拿赫情形之外，对拓扑代数的这些同调与上同调群进行显式计算的挑战。
• 证明在完备核DF空间复形的上同调中，同构自动为拓扑同构，从而获得更强的结构性结果。
• 为关键类别的双投影核$\hat{\otimes}$-代数提供连续循环型（同）调的显式、拓扑同构描述。
• 统一并推广关于$\mathcal{E}(G)$、$\mathcal{E}^*(G)$、$E\hat{\otimes}F$及科赫代数$\lambda(P)$与$\lambda(P)^*$的已知结果。

提出的方法

• 在完备核DF空间范畴中运用同调代数技术，利用其在投影张量积与闭子空间下的稳定性。
• 在局部凸空间中应用开映射定理，证明完备核DF空间复形上同调群之间的同构自动为拓扑同构。
• 运用由对偶对$(E,F,\langle\cdot,\cdot\rangle)$生成的$\hat{\otimes}$-代数理论，其中$E$与$F$为核弗雷chet或DF空间。
• 应用在科赫集$P$满足(P3)、(P4)与(P5)条件时，核双投影科赫代数$\lambda(P)$及其对偶$\lambda(P)^*$的结果。
• 利用$\mathcal{E}(G)$、$\mathcal{E}^*(G)$与$\Re = s\hat{\otimes}s$等代数为核且双投影的性质，通过结构定理推导其（同）调。
• 通过交换子商$\mathcal{A}/[\mathcal{A},\mathcal{A}]$与迹空间$\mathcal{A}^{tr}$的结构，推导出所有循环型（同）调群的显式公式，至拓扑同构为止。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在巴拿赫情形之外，对核弗雷chet与DF代数显式计算连续Hochschild与循环（同）调？
• RQ2 在何种条件下，完备核DF空间复形之间的上同调同构自动为拓扑同构？
• RQ3 对于核弗雷chet或DF空间$E$与$F$，张量代数$E\hat{\otimes}F$的连续循环型（同）调群为何？
• RQ4 核双投影科赫代数$\lambda(P)$及其强对偶$\lambda(P)^*$的连续（同）调群为何？
• RQ5 在紧李群$G$上，光滑函数代数$\mathcal{E}(G)$与分布代数$\mathcal{E}^*(G)$的（同）调群行为如何？

主要发现

• 对于定理6.8中类别(i)至(v)的所有代数，当$n \geq 1$时，朴素循环同调$\mathcal{H}^{naive}_n(\mathcal{A})$与巴尔循环同调$\mathcal{H}^{bar}_n(\mathcal{A})$均消失，且$\mathcal{H}^{naive}_0(\mathcal{A}) = \mathcal{A}/[\mathcal{A},\mathcal{A}]$。
• 周期循环同调满足$\mathcal{H}\mathcal{P}_0(\mathcal{A}) = \mathcal{A}/[\mathcal{A},\mathcal{A}]$与$\mathcal{H}\mathcal{P}_1(\mathcal{A}) = \{0\}$，对于弗雷chet代数至拓扑同构，对于DF代数至线性同构。
• Hochschild同调$\mathcal{H}\mathcal{H}_n(\mathcal{A})$在$n \geq 1$时消失，且$\mathcal{H}\mathcal{H}_0(\mathcal{A}) = \mathcal{A}/[\mathcal{A},\mathcal{A}]$。
• 循环同调满足$\mathcal{H}\mathcal{C}_{2\ell}(\mathcal{A}) = \mathcal{A}/[\mathcal{A},\mathcal{A}]$与$\mathcal{H}\mathcal{C}_{2\ell+1}(\mathcal{A}) = \{0\}$，对所有$\ell \geq 0$成立。
• 上同调群$\mathcal{H}^{n}_{\text{naive}}(\mathcal{A})$与$\mathcal{H}^{n}_{\text{bar}}(\mathcal{A})$对所有$n \geq 1$消失，且$\mathcal{H}^{0}_{\text{naive}}(\mathcal{A}) = \mathcal{A}/[\mathcal{A},\mathcal{A}]$。
• Hochschild上同调$\mathcal{H}\mathcal{H}^n(\mathcal{A})$在$n \geq 1$时消失，且$\mathcal{H}\mathcal{H}^0(\mathcal{A}) = \mathcal{A}^{tr}$；循环上同调满足$\mathcal{H}\mathcal{C}^{2\ell}(\mathcal{A}) = \mathcal{A}^{tr}$与$\mathcal{H}\mathcal{C}^{2\ell+1}(\mathcal{A}) = \{0\}$，对所有$\ell \geq 0$成立。