[论文解读] Cyclic Cohomology of the Weyl Algebra

Thomas Willwacher|ArXiv.org|Apr 17, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用 7

一句话总结

本文为 Weyl代数 $A_{2n}$ 的循环上同调提供了 $\mathfrak{sp}_{2n}$-基本代表元的显式公式，推广了此前关于 Hochschild 上同调的工作。通过使用与标准收缩算子 $\theta = \theta_{\text{can}}$ 关联的扭曲指数函数 $e^{-u\theta}$，作者构造了一个在辛李代数作用下不变的循环上循环 $\tau_w = e^{-u\theta} \tau_{2n} \otimes w$，并证明其在评估映射 $ev_1$ 下的像与特征类 $\hat{A}Ch$ 至多差一个符号，从而推广了 Nest 与 Tsygan 的结果。

ABSTRACT

We give an explicit formula for symplectically basic representatives of the cyclic cohomology of the Weyl algebra. This paper can be seen as cyclic addendum to the paper by Feigin, Felder and Shoikhet, where the analogous Hochschild case was treated. As an application, we prove a generalization of a Theorem of Nest and Tsygan concerning the relation of the Todd class and the cyclic cohomology of the differential operators on a complex manifold.

研究动机与目标

• 为 Weyl 代数 $\mathfrak{A}_{2n}$ 的循环上同调构造显式的 $\mathfrak{sp}_{2n}$-基本代表元，推广此前关于 Hochschild 上同调的结果。
• 解决在辛李代数 $\mathfrak{sp}_{2n}$ 作用下寻找循环上循环不变性的困难，这对形式几何中局部构造的全局化至关重要。
• 建立循环上循环 $\tau_w$ 与特征类 $\mathfrak{A} Ch$ 之间的精确联系，推广 Nest 与 Tsygan 关于 Todd 类与微分算子循环上同调关系的结果。
• 为 Feigin、Felder 与 Shoikhet（FFS）建立的 Hochschild 上同调公式提供循环对应，完成形变量子化理论的上同调框架。

提出的方法

• 通过与辛形式 $\omega$ 关联的收缩算子 $\iota_\omega$ 的指数函数 $e^{-u\iota_\omega}$ 构造循环上循环 $\tau_w = e^{-u\iota_\omega}\tau_{2n} \otimes w$，其中 $\tau_{2n}$ 为 FFS 的 Hochschild 上循环。
• 采用 Getzler 的统一循环上同调框架，基于复形 $CC_W^\bullet(\mathfrak{A}_{2n}) = C^\bullet(\mathfrak{A}_{2n}, \mathfrak{A}_{2n}^*)[[u]] \otimes_{\mathbb{C}[u]} W$，其微分为 $d + uB$。
• 使用 $k+1$ 个点在圆周上的配置空间 $\tilde{\Delta}_k$，定义取值于 Hochschild 上链的微分形式 $\eta_k$，通过对 $\Delta_k$ 积分来定义 $\tau_{2k}$。
• 应用 Stokes 定理与单纯恒等式，验证循环双复形关系，证明 $B\tau_{2k+2} = d\tau_{2k}$，从而确认 $\tau_{2k}$ 是一个上循环。
• 利用从 Hochschild 上同调到李代数上同调的评估映射 $ev_1$，将 $\tau_{2k}^r$ 与特征类 $\hat{A}Ch$ 关联，证明 $[ev_1(\tau_{2k}^r)] = (-1)^k[\hat{A}Ch]_{2k}$。
• 依赖于 FFS 构造的 Hochschild 上循环 $\tau_{2n}$，其已被证明为 $\mathfrak{sp}_{2n}$-基本，通过扭曲 $e^{-u\iota_\omega}$ 扩展至循环情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为 Weyl 代数 $\mathfrak{A}_{2n}$ 的循环上同调构造显式的 $\mathfrak{sp}_{2n}$-基本代表元，推广已知的 Hochschild 情形？
• RQ2 通过评估映射 $ev_1$，$\mathfrak{A}_{2n}$ 的循环上同调如何与特征类 $\hat{A}Ch$ 关联？
• RQ3 满足既是上循环又在 $\mathfrak{sp}_{2n}$ 作用下不变的循环上循环 $\tau_w$ 的精确形式为何？
• RQ4 该构造是否推广了 Nest 与 Tsygan 关于 Todd 类与复流形上微分算子循环上同调关系的定理？
• RQ5 能否通过涉及辛形式 $\omega$ 的几何扭曲，实现循环上循环的 $\mathfrak{sp}_{2n}$-不变性？

主要发现

• 循环上循环 $\tau_w = e^{-u\iota_\omega}\tau_{2n} \otimes w$ 是 $HC^\bullet(\mathfrak{A}_{2n})$ 的非平凡代表元，且对所有 $a \in \mathfrak{sp}_{2n}$ 满足 $\iota_a \tau_w = 0$，因此是 $\mathfrak{sp}_{2n}$-基本的。
• 在 $ev_1$ 下对 $2k$-分量 $\tau_{2k}^r = \frac{1}{(n-k)!}(-\iota_\omega)^{n-k}\tau_{2n}^r$ 的评估，得到与 $(-1)^k[\hat{A}Ch]_{2k}$ 相同的李代数上同调类，从而证明了定理 3。
• 该构造将 FFS 关于 Hochschild 上同调的结果推广至循环情形，为 $\mathfrak{sp}_{2n}$-不变代表元提供了统一框架。
• 该方法确认：当与 $W$ 张量时，$\mathfrak{A}_{2n}$ 的循环上同调同构于 $HH^\bullet(\mathfrak{A}_{2n}, \mathfrak{A}_{2n}^*)[[u]] \otimes_{\mathbb{C}[u]} W$，推广了已知的同构关系。
• 本文建立了循环上循环与特征类 $\hat{A}Ch$ 之间的精确联系，将 Nest-Tsygan 定理推广至循环情形。
• 该结果由 Pflaum、Posthuma 与 Tang 独立验证，其进一步拓展了应用，表明该结果在形变量子化与指标理论中具有广泛相关性。