[论文解读] Cyclic covering morphisms on $\bar{M}_{0,n}$

Maksym Fedorchuk|arXiv (Cornell University)|May 3, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用 7

一句话总结

本文通过在 $n$ 个标记点处分支的 $p$ 次循环覆盖态射，提出了一种在模空间 $\overline{M}_{0,n}$ 上构造 nef 线丛与向量丛的新几何方法。证明了所有 $\mathfrak{sl}_n$ 1级共形块除子均可由此构造，并在对称 nef 锥中构造出新的极小射线，包括 $p=3$ 和 $p=5$ 的情形，推动了 F-猜想的发展，同时为已知的除子提供了新的代数几何实现。

ABSTRACT

We study cyclic covering morphisms from $\bar{M}_{0,n}$ to moduli spaces of unpointed stable curves of positive genus or compactified moduli spaces of principally polarized abelian varieties. Our main application is a construction of new semipositive vector bundles and nef divisors on $\bar{M}_{0,n}$, with a view toward the F-conjecture. In particular, we construct new extremal rays of the symmetric nef cone of $\bar{M}_{0,n}$. We also find an alternate description of all sl level 1 conformal blocks divisors on $\bar{M}_{0,n}$.

研究动机与目标

• 通过循环覆盖态射在 $\overline{M}_{0,n}$ 上构造新的半正向量丛与 nef 除子。
• 为 $\mathfrak{sl}_n$ 1级共形块除子提供代数几何实现。
• 证明所有 $\mathfrak{sl}_n$ 1级共形块除子均来自循环覆盖构造。
• 在对称 nef 锥 $\operatorname{Nef}(\overline{M}_{0,n}/S_n)$ 中识别出新的极小射线，其范围超出已知的共形块除子。
• 通过展示对称 nef 锥由此类循环覆盖构造生成，支持 F-猜想。

提出的方法

• 定义循环 $p$-覆盖态射 $f_{n,p}: \overline{M}_{0,n} \to \overline{M}_g$，其中 $g = (n-2)(p-1)/2$，将每个 $n$-点有理曲线映射为其在标记点处分支的 $p$ 次覆盖。
• 将态射提升至根叠以解决奇点，并通过拉回 Hodge 线丛实现向量丛的构造。
• 利用 $\mu_p$-作用对 Hodge 线丛进行分解，得到特征丛 $\mathbb{E}_j$，并证明 $f_{n,p}^*(\mathbb{E}_j)$ 在 $\overline{M}_{0,n}$ 上为半正。
• 证明 $\det(f_{n,p}^*(\mathbb{E}_j)) = \mathbb{D}^1_{n,jn/p}/p$，将构造与 $\mathfrak{sl}_n$ 1级共形块除子联系起来。
• 计算 $f_{n,p}^*(\lambda)$ 的除子类为 $\frac{p}{12}\left(\left(1 - \frac{1}{p^2}\right)\psi - \sum_k \left(1 - \frac{\gcd(k,p)^2}{p^2}\right)\Delta_k\right)$，表明其为半ample 且收缩了满足 $p \mid k$ 的 $p$-可除边界除子。
• 通过在 $\lambda = 0,1,\infty$ 处对微分形式的局部分析与零点阶数计算，计算陈类，并验证特征丛 $\mathbb{E}_j$ 的次数为零，从而确认其为线丛。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用循环覆盖态射在 $\overline{M}_{0,n}$ 上构造新的 nef 除子与向量丛？
• RQ2 所有 $\mathfrak{sl}_n$ 1级共形块除子是否均来自循环覆盖构造？
• RQ3 能否通过此方法在对称 nef 锥 $\operatorname{Nef}(\overline{M}_{0,n}/S_n)$ 中构造新的极小射线？
• RQ4 $c_1(f_{n,p}^{(\mathbb{E}))}$ 是否可表示为共形块除子的有效线性组合？
• RQ5 当 $3 \mid n$ 时，$f_{n,3}$ 拉回的 $9\lambda - \delta_{\text{irr}}$ 是否产生 $\operatorname{Nef}(\overline{M}_{0,n}/S_n)$ 中的极小射线？

主要发现

• 拉回 $f_{n,p}^*(\mathbb{E}_j)$ 在 $\overline{M}_{0,n}$ 上为半正，提供了半正向量丛的新构造。
• 行列式 $\det(f_{n,p}^*(\mathbb{E}_j)) = \mathbb{D}^1_{n,jn/p}/p$ 通过循环覆盖构造实现了所有 $\mathfrak{sl}_n$ 1级共形块除子。
• $f_{n,p}^*(\lambda)$ 为半ample 除子，定义了到 $\mathcal{A}_g$ 的 Satake 紧化空间的态射，且收缩了满足 $p \mid k$ 的边界除子 $\Delta_k$。
• 当 $3 \mid n$ 时，除子 $f_{n,3}^*(9\lambda - \delta_{\text{irr}})$ 是 $\operatorname{Nef}(\overline{M}_{0,n}/S_n)$ 的极小射线，且位于已知共形块除子生成的锥之外。
• 当 $p=5$ 时，类似构造产生了一个新极小射线，提示对更高 $p$ 存在一般性模式。
• 特征丛 $\mathbb{E}_j$ 为次数为零的线丛，通过计算基空间 $\mathbb{P}^1$ 上三个特殊点处有理 1-形式的零点阶数得以验证。