[论文解读] Cyclic homology, $S^1$-equivariant Floer cohomology, and Calabi-Yau structures

Sheel Ganatra|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 49被引用 6

一句话总结

本文构建了从Fukaya范畴的循环同调到辛流形上$S^1$-等变Floer上同调的几何$S^1$-等变增强开-闭映射。证明该增强是$C_*(S^1)$-模上的$A_\infty$-同态，从而在Fukaya范畴上构造出光滑且恰当的Calabi-Yau结构，并通过循环同调与Floer理论给出了非交换Hodge-de Rham退化猜想的辛几何证明。

ABSTRACT

We construct geometric maps from the cyclic homology groups of the (compact or wrapped) Fukaya category to the corresponding $S^1$-equivariant (Floer/quantum or symplectic) cohomology groups, which are natural with respect to all Gysin and periodicity exact sequences and are isomorphisms whenever the (non-equivariant) open-closed map is. These {\em cyclic open-closed maps} give (a) constructions of geometric smooth and/or proper Calabi-Yau structures on Fukaya categories (which in the proper case implies the Fukaya category has a cyclic A-infinity model in characteristic 0) and (b) a purely symplectic proof of the non-commutative Hodge-de Rham degeneration conjecture for smooth and proper subcategories of Fukaya categories of compact symplectic manifolds. Further applications of cyclic open-closed maps, to counting curves in mirror symmetry and to comparing topological field theories, are the subject of joint projects with Perutz-Sheridan [GPS1, GPS2] and Cohen [CG].

研究动机与目标

• 建立Fukaya范畴的循环同调到$S^1$-等变Floer上同调的几何$S^1$-等变增强开-闭映射。
• 为紧致辛流形的Fukaya范畴的光滑且恰当子范畴提供非交换Hodge-de Rham退化猜想的辛几何证明。
• 通过循环同调与$S^1$-等变Floer上同调在Fukaya范畴上构造光滑且恰当的Calabi-Yau结构。
• 阐明哈密顿Floer同调上的几何$S^1$-作用与Fukaya范畴的Hochschild同调上的范畴$S^1$-作用之间的相容性。

提出的方法

• 构建一个$C_*(S^1)$-模上的几何$A_\infty$同态$\widetilde{\mathcal{OC}}$，以增强开-闭映射$\mathcal{OC}$，通过引入高阶同伦来解决扰动数据带来的非等变性问题。
• 利用Hochschild同调$\mathrm{CH}_*(\mathcal{F})$与$CF^*(M)$上的$C_*(S^1)$-模结构，以Connes的$B$-算子和BV算子$\Delta$作为关键的代数与几何$S^1$-作用。
• 对$CF^*(M)$与$\mathrm{CH}_*(\mathcal{F})$应用同伦轨道、固定点与Tate复形构造，以恢复$S^1$-等变Floer上同调与循环同调群。
• 在带有遗忘标记点的模空间上引入辅助Floer数据，包括不稳定条带的平移不变数据，以定义边界算子。
• 应用模空间$\overline{\mathcal{R}}^{d,f_i}$的Deligne-Mumford紧化以控制退化现象，并在开-闭映射中定义算子。
• 通过不变性与同伦唯一性论证，证明$S^1$-等变增强$\widetilde{\mathcal{OC}}$在同伦意义下唯一，且不依赖于扰动数据的选择。

实验结果

研究问题

• RQ1 开-闭映射$\mathcal{OC}: \mathrm{CH}_*(\mathcal{F}) \to CF^*(M)$能否被增强为$C_*(S^1)$-模上的$S^1$-等变$A_\infty$-同态？
• RQ2 在何种条件下，$S^1$-等变增强$\widetilde{\mathcal{OC}}$在循环同调与$S^1$-等变Floer上同调之间诱导同构？
• RQ3 Fukaya范畴的Hochschild同调上的$S^1$-等变结构如何通过Floer理论实现几何化？
• RQ4 此$S^1$-等变开-闭映射对Fukaya范畴上Calabi-Yau结构的存在性有何影响？
• RQ5 该框架能否为Fukaya范畴的光滑且恰当子范畴提供纯粹的辛几何证明，以支持非交换Hodge-de Rham退化猜想？

主要发现

• 在技术假设$(\star)$下，开-闭映射$\mathcal{OC}$可被几何地增强为$C_*(S^1)$-模上的$A_\infty$-同态$\widetilde{\mathcal{OC}}$，从而解决由扰动数据引起的非等变性问题。
• $S^1$-等变增强$\widetilde{\mathcal{OC}}$在同伦意义下唯一，确保其对扰动数据选择的鲁棒性。
• 当非等变开-闭映射$\mathcal{OC}$是同构时，其在循环同调与$S^1$-等变Floer上同调上的诱导映射也是同构。
• 该构造在Fukaya范畴上产生了几何的光滑且恰当的Calabi-Yau结构，意味着在特征零下存在一个循环$A_\infty$模型。
• 该框架为紧致辛流形的Fukaya范畴的光滑且恰当子范畴提供了非交换Hodge-de Rham退化猜想的纯粹辛几何证明。
• 当$d > 2$时，带有遗忘标记点的开-闭映射为零；当$d = 2$时，其为恒等映射，这是由于不稳定情形下的非刚性与平移不变性所致。