[论文解读] D-branes and Azumaya/matrix noncommutative differential geometry,II: Azumaya/matrix supermanifolds and differentiable maps therefrom -- with a view toward dynamical fermionic D-branes in string theory

Chien‐Hao Liu, Shing‐Tung Yau|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 61被引用 7

一句话总结

本文引入了带有基本模的阿兹马亚/矩阵超流形，并定义了从这些对象到实流形和超流形的可微映射，从而为弦理论中动力 fermionic D-膜的几何框架提供了支持。其主要贡献是在数学上严格地统一了非交换几何与超对称性，使得能够以 Ramond-Neveu-Schwarz 和 Green-Schwarz 两种风格表述 fermionic D-膜，并首次通过映射和 Chan-Paton bundle 的截面形式化了动力 D-膜上的 Higgs 机制。

ABSTRACT

In this Part II of D(11), we introduce new objects: super-$C^k$-schemes and Azumaya super-$C^k$-manifolds with a fundamental module (or, synonymously, matrix super-$C^k$-manifolds with a fundamental module), and extend the study in D(11.1) ([L-Y3], arXiv:1406.0929 [math.DG]) to define the notion of `differentiable maps from an Azumaya/matrix supermanifold with a fundamental module to a real manifold or supermanifold'. This allows us to introduce the notion of `fermionic D-branes' in two different styles, one parallels Ramond-Neveu-Schwarz fermionic string and the other Green-Schwarz fermionic string. A more detailed discussion on the Higgs mechanism on dynamical D-branes in our setting, taking maps from the D-brane world-volume to the space-time in question and/or sections of the Chan-Paton bundle on the D-brane world-volume as Higgs fields, is also given for the first time in the D-project. Finally note that mathematically string theory begins with the notion of a differentiable map from a string world-sheet (a $2$-manifold) to a target space-time (a real manifold). In comparison to this, D(11.1) and the current D(11.2) together bring us to the same starting point for studying D-branes in string theory as dynamical objects.

研究动机与目标

• 将可微映射从阿兹马亚/矩阵流形扩展到超流形，整合费米子自由度。
• 利用超- $C^k$-概形和矩阵超流形，为带有费米子场的动力 D-膜建立几何设定。
• 在两种不同的弦论风格中建模费米子 D-膜：Ramond-Neveu-Schwarz 和 Green-Schwarz。
• 通过将 Higgs 场识别为从 D-膜世界体积到时空的映射或 Chan-Paton bundle 的截面，形式化动力 D-膜上的 Higgs 机制。
• 利用合成 $C^k$-代数几何和非交换微分几何，为在弦理论中将 D-膜视为动力对象建立基础。

提出的方法

• 引入超- $C^k$-概形和带有基本模的阿兹马亚超- $C^k$-流形，作为费米子 D-膜的几何背景。
• 定义从阿兹马亚/矩阵超流形到实流形和超流形的可微映射，推广 D(11.1) 中的 $C^k$-映射框架。
• 利用旋量场层和李代数几何的形式化，将费米子自由度整合进非交换几何。
• 应用格罗滕迪克的代数几何和杜布瓦的合成 $C^k$-代数微分几何，为矩阵超流形构建一致的微分结构。
• 通过将从 D-膜世界体积的映射和 Chan-Paton bundle 的截面解释为 Higgs 场，实现 Higgs 机制，其通过规范对称性自发破缺生成质量。
• 利用基本模的概念，确保 D-膜 Chan-Paton bundle 和规范场的物理解释的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非交换几何框架下，如何严格定义从带有基本模的阿兹马亚/矩阵超流形到超流形的可微映射？
• RQ2 在所提出的超流形形式化中，两种弦论风格——Ramond-Neveu-Schwarz 和 Green-Schwarz——以何种方式自然地浮现？
• RQ3 如何通过映射和丛截面作为 Higgs 场，在动力 D-膜上几何化实现 Higgs 机制？
• RQ4 基本模在确保 D-膜几何及其与时空耦合的物理一致性方面起什么作用？
• RQ5 通过超- $C^k$-概形引入费米子自由度，如何扩展矩阵几何在弦理论中动力 D-膜上的适用性？

主要发现

• 本文成功地在带有基本模的阿兹马亚/矩阵超流形与实流形和超流形之间定义了可微映射，推广了 D(11.1) 中的 $C^k$-映射框架。
• 在同一个非交换超几何框架内，费米子 D-膜以两种不同风格（RNS 和 GS）被形式化，实现了统一的数学描述。
• 本项目首次形式化了动力 D-膜上的 Higgs 机制，其中 Higgs 场被识别为从 D-膜世界体积到时空的映射或 Chan-Paton bundle 的截面。
• 该框架揭示了 D-膜在可微映射下的像可能表现出非平凡结构，如不连通分量或幂零模糊扩展，反映了其动力行为。
• 该构造为 D-膜理论建立了新的数学起点，类似于弦理论中世界面映射的作用，现已被扩展至矩阵和超几何设定。
• 该工作为未来在合成 $C^k$-代数辛几何和校准几何，以及 D-膜上的非阿贝尔 Dirac-Born-Infeld 和 Chern-Simons 作用量的研究奠定了基础。