[论文解读] Decay properties of the Hardy-Littlewood-Sobolev systems of the Lane-Emden type

Yutian Lei, Congming Li|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2013

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文研究了 R^n 中 Hardy-Littlewood-Sobolev (HLS) 及 Lane-Emden 型系统正解的衰减性质。它建立了一个精确判据：可积解迅速衰减，而不可积有界解则缓慢衰减，且衰减速率由系统参数精确确定。其主要贡献是基于可积性对衰减行为进行分类，解决了变分方法失效的超临界情形下的渐近行为问题。

ABSTRACT

In this paper, we study the asymptotic behavior of positive solutions of the nonlinear differential systems of Lane-Emden type $2k$-order equations $$\{{array}{l} (-Δ)^k u=v^q,u>0 \quad in ~R^n, (-Δ)^k v=u^p,v>0 \quad in ~R^n, {array}. $$ and the Hardy-Littlewood-Sobolev (HLS) type system of nonlinear equations $$ \{{array}{l} u(x)=\displaystyle\int_{R^n}\frac{v^q(y)dy}{|x-y|^{n-α}},u>0 \quad in ~R^n, v(x)=\displaystyle\int_{R^n}\frac{u^p(y)dy}{|x-y|^{n-α}},u>0 \quad in ~R^n. {array}. $$ Such an integral system is related to the study the extremal functions of the HLS inequality. We point out that the bounded solutions $u,v$ converge to zero either with the fast decay rates or with the slow decay rates when $|x| o \infty$ under some assumptions. In addition, we also find a criterion to distinguish the fast and the slow decay rates: if $u,v$ are the integrable solutions (i.e. $(u,v) \in L^{r_0}(R^n) imes L^{s_0}(R^n)$), then they decay fast; if the bounded solutions $u,v$ are not the integrable solutions (i.e. $(u,v) ot\in L^{r_0}(R^n) imes L^{s_0}(R^n)$), then they decay almost slowly. Here, for the HLS type system, $r_0=\frac{n(pq-1)}{α(q+1)}$, $s_0=\frac{n(pq-1)}{α(p+1)}$; and for the Lane-Emden type system, $r_0,s_0$ are still the forms above where $α$ is replaced by $2k$.

研究动机与目标

• 分析 Lane-Emden 型与 HLS 型非线性积分与 PDE 系统正解的渐近衰减行为。
• 基于可积性与衰减速率对解进行分类，尤其关注变分方法不适用的超临界情形。
• 建立一个精确判据，以区分快速衰减（可积解）与缓慢衰减（不可积有界解）。
• 将单个 Lane-Emden 方程已知的衰减结果推广至高阶耦合系统及积分方程。
• 阐明衰减速率在非亚临界条件下正解存在性理论中的作用。

提出的方法

• 分析如下 HLS 型系统的解的渐近行为：u(x) = ∫ v^q(y) / |x−y|^{n−α} dy, v(x) = ∫ u^p(y) / |x−y|^{n−α} dy。
• 引入可积性阈值 r₀ = n(pq−1)/(α(q+1)), s₀ = n(pq−1)/(α(p+1)) 以对解进行分类。
• 使用迭代积分估计与比较论证，推导衰减速率的下界与上界。
• 应用 HLS 不等式与尺度变换论证，将衰减行为与可积性及能量条件关联。
• 通过衰减序列上的归纳法与反证法，排除不一致的衰减速率。
• 在适当条件下，建立可积解、有限能量解与快速衰减有界解之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是什么决定了 HLS 型系统正解在 |x| → ∞ 时迅速或缓慢衰减？
• RQ2 解的可积性 (u,v) ∈ L^{r₀} × L^{s₀}) 如何与衰减速率相关联？
• RQ3 能否根据系统参数 p, q, α 与 n 精确刻画有界解的衰减速率？
• RQ4 临界条件 1/(p+1) + 1/(q+1) = (n−α)/n 在决定衰减与存在性方面起什么作用？
• RQ5 耦合系统的衰减性质如何推广单个 Lane-Emden 方程的已知结果？

主要发现

• 可积解，即 (u,v) ∈ L^{r₀}(R^n) × L^{s₀}(R^n) 的解，以速率 u(x) ≲ |x|^{-α(q+1)/(pq−1)}, v(x) ≲ |x|^{-α(p+1)/(pq−1)} 快速衰减，当 |x| → ∞ 时。
• 不可积有界解几乎缓慢衰减，其衰减速率恰好匹配临界指数：u(x) ≲ |x|^{-α(q+1)/(pq−1)}, v(x) ≲ |x|^{-α(p+1)/(pq−1)}
• 临界条件 1/(p+1) + 1/(q+1) = (n−α)/n 成立当且仅当系统存在有限能量解，此时该类解与可积解等价。
• 在给定假设下，可积解等价于有限能量解与快速衰减有界解。
• 若某解衰减快于临界速率，则临界条件必须成立，且该解为有限能量解。
• 本文证明，除非解不可积，否则无解可衰减慢于临界速率；而此类解必须恰好以临界速率衰减。