[论文解读] Decremental APSP in Directed Graphs Versus an Adaptive Adversary

Jacob Evald, Viktor Fredslund-Hansen+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 32被引用 4

一句话总结

本文提出了用于在自适应敌手模型下维护有向图中所有点对最短路径（APSP）的新确定性与随机化数据结构，在总更新时间上实现了近乎最优的性能：精确距离为˜O(n³)，稀疏图中(1+ǫ)-近似距离为˜O(m²/³n⁵/³ + n⁸/³/(m¹/³ǫ²))，显著优于以往针对自适应敌手的界。

ABSTRACT

Given a directed graph $G = (V,E)$, undergoing an online sequence of edge deletions with $m$ edges in the initial version of $G$ and $n = |V|$, we consider the problem of maintaining all-pairs shortest paths (APSP) in $G$. Whilst this problem has been studied in a long line of research [ACM'81, FOCS'99, FOCS'01, STOC'02, STOC'03, SWAT'04, STOC'13] and the problem of $(1+ε)$-approximate, weighted APSP was solved to near-optimal update time $ ilde{O}(mn)$ by Bernstein [STOC'13], the problem has mainly been studied in the context of oblivious adversaries, which assumes that the adversary fixes the update sequence before the algorithm is started. In this paper, we make significant progress on the problem in the setting where the adversary is adaptive, i.e. can base the update sequence on the output of the data structure queries. We present three new data structures that fit different settings: We first present a deterministic data structure that maintains exact distances with total update time $ ilde{O}(n^3)$. We also present a deterministic data structure that maintains $(1+ε)$-approximate distance estimates with total update time $ ilde O(\sqrt{m} n^2/ε)$ which for sparse graphs is $ ilde O(n^{2+1/2}/ε)$. Finally, we present a randomized $(1+ε)$-approximate data structure which works against an adaptive adversary; its total update time is $ ilde O(m^{2/3}n^{5/3} + n^{8/3}/(m^{1/3}ε^2))$ which for sparse graphs is $ ilde O(n^{2+1/3})$. Our exact data structure matches the total update time of the best randomized data structure by Baswana et al. [STOC'02] and maintains the distance matrix in near-optimal time. Our approximate data structures improve upon the best data structures against an adaptive adversary which have $ ilde{O}(mn^2)$ total update time [JACM'81, STOC'03].

研究动机与目标

• 为解决在自适应敌手模型下维护有向图中所有点对最短路径的长期挑战，其中更新序列依赖于先前查询结果。
• 弥合已知的无偏见敌手结果与更具现实意义的自适应敌手模型在动态APSP中的差距。
• 设计高效的动态数据结构，以在自适应更新下保持精确或(1+ǫ)-近似距离，并提供可证明的总更新时间界。
• 在增量设置下，为精确与近似APSP实现近乎最优的性能，尤其针对稀疏图。
• 首次提供针对自适应敌手的、总更新时间低于二次项的随机化数据结构，优于˜O(mn²)的基线。

提出的方法

• 作者提出一种混合方法，结合Even-Shiloach算法处理小距离，以及一种针对大距离的新数据结构，利用采样与树增长启发式策略。
• 对于(1+ǫ)-近似数据结构，他们维护以各顶点为根的入边树，并使用随机采样来估计距离，确保较低的期望更新成本。
• 他们采用基于动态集合采样的摊还分析：当一个顶点被标记时，集合Qi,j(u,v)的期望大小通过概率独立性被限制在O(ln n / p)以内。
• 算法使用分层数据结构，按距离阈值将距离划分为不同层级，每一层采用不同的更新策略。
• 关键技术是通过集中不等式控制添加到查询集的采样顶点的期望数量，从而确保每次更新的期望成本较低。
• 通过几何级数论证平衡各项，设定算法切换的最优阈值，从而优化总更新时间。

实验结果

研究问题

• RQ1 在自适应敌手模型下，能否在总更新时间˜O(n³)内维护有向图中的精确APSP？
• RQ2 在自适应敌手模型下，能否在稀疏图中以总更新时间˜O(√mn²/ǫ)维护(1+ǫ)-近似APSP？
• RQ3 能否设计一种随机化数据结构，使(1+ǫ)-近似APSP在自适应敌手下实现低于二次项的总更新时间？
• RQ4 这些数据结构在自适应敌手模型下的性能与以往工作相比如何？
• RQ5 在增量设置下，近似因子ǫ与总更新时间之间最优权衡是什么？

主要发现

• 本文提出一种确定性数据结构，可在总更新时间˜O(n³)内维护精确APSP，与Baswana等人[STOC'02]的最优随机化界一致。
• 一种确定性(1+ǫ)-近似数据结构实现了总更新时间˜O(√mn²/ǫ)，在稀疏图中为˜O(n².⁵/ǫ)，优于自适应敌手下的˜O(mn²)基线。
• 一种随机化(1+ǫ)-近似数据结构实现了总更新时间˜O(m²/³n⁵/³ + n⁸/³/(m¹/³ǫ²))，在稀疏图中简化为˜O(n².³³)，显著优于以往的˜O(mn²)界。
• 顶点被标记后，查询集Qi,j(u,v)的期望大小为O(ln n / p)，这对控制总更新成本至关重要。
• 通过结合Even-Shiloach算法处理小距离与新数据结构处理大距离，混合算法在稀疏图中实现了总期望更新时间˜O(m²/³n⁵/³ + n⁸/³/(m¹/³ǫ²))。
• 分析依赖于一种新颖的概率论证，针对动态集合的采样，表明空采样集的概率随集合大小呈指数衰减，从而实现紧致的期望成本界。