[论文解读] Decremental SSSP in Weighted Digraphs: Faster and Against an Adaptive Adversary

Maximilian Probst Gutenberg, Christian Wulff‐Nilsen|Research at the University of Copenhagen (University of Copenhagen)|Jan 29, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 16

一句话总结

该论文提出了首个针对自适应敌手的增量式 $(1+\epsilon)$-近似单源最短路径的拉斯维加斯数据结构，适用于带权有向图，总期望更新时间达到 $\tilde{O}(m^{3/4}n^{5/4}\log W)$（带权图）和 $\tilde{O}(m^{2/3}n^{4/3})$（无权图）。该方法在所有图密度下均实现了比以往随机化方法更快的更新时间，且能处理自适应敌手，显著优于先前仅针对非自适应敌手的随机化边界。

ABSTRACT

Given a dynamic digraph $G = (V,E)$ undergoing edge deletions and given $s\in V$ and $ε>0$, we consider the problem of maintaining $(1+ε)$-approximate shortest path distances from $s$ to all vertices in $G$ over the sequence of deletions. Even and Shiloach (J.~ACM'$81$) give a deterministic data structure for the exact version of the problem with total update time $O(mn)$. Henzinger et al. (STOC'$14$, ICALP'$15$) give a Monte Carlo data structure for the approximate version with improved total update time $ O(mn^{0.9 + o(1)}\log W)$ where $W$ is the ratio between the largest and smallest edge weight. A drawback of their data structure is that they only work against an oblivious adversary, meaning that the sequence of deletions needs to be fixed in advance. This limits its application as a black box inside algorithms. We present the following $(1+ε)$-approximate data structures: (1) the first data structure is Las Vegas and works against an adaptive adversary; it has total expected update time $ ilde O(m^{2/3}n^{4/3})$ for unweighted graphs and $ ilde O(m^{3/4}n^{5/4}\log W)$ for weighted graphs, (2) the second data structure is Las Vegas and assumes an oblivious adversary; it has total expected update time $ ilde O(\sqrt m n^{3/2})$ for unweighted graphs and $ ilde O(m^{2/3}n^{4/3}\log W)$ for weighted graphs, (3) the third data structure is Monte Carlo and is correct w.h.p.~against an oblivious adversary; it has total expected update time $ ilde O((mn)^{7/8}\log W) = ilde O(mn^{3/4}\log W)$. Each of our data structures can be queried at any stage of $G$ in constant worst-case time; if the adversary is oblivious, a query can be extended to also report such a path in time proportional to its length. Our update times are faster than those of Henzinger et al.~for all graph densities.

研究动机与目标

• 解决以往随机化数据结构仅适用于非自适应敌手的局限性，后者限制了其在复杂算法流水线中的应用。
• 设计一种确定性或拉斯维加斯数据结构，用于在带权有向图中维护边删除下的 $(1+\epsilon)$-近似最短路径距离。
• 实现总更新时间快于埃文和希洛阿奇（1981）的经典 $O(mn)$ 边界，即使在稠密图中亦然。
• 在敌手为非自适应时，实现查询路径报告的时间与路径长度成正比，从而实现高效报告。
• 突破在自适应敌手下精确 SSSP 的 $O(mn)$ 更新时间障碍，表明近似方法可在精确计算无法推进的场景中实现进展。

提出的方法

• 采用分层聚类方法，通过超级源点和超级边维护动态环境下的近似距离。
• 对顶点进行随机采样，以控制活跃超级源点的数量，并确保层级结构的期望深度为对数级别。
• 使用父指针和结构组件 ($\mathcal{ES}(s')$) 维护最短路径树的动态森林，支持高效更新与路径重构。
• 引入参数化分析，使用 $d$、$D'$、$\delta$ 和 $\rho$ 平衡数据结构各部分之间的权衡。
• 在由期望处理边界导出的约束下优化参数，以最小化总更新时间，使用 $\tilde{O}$ 表示法忽略多对数因子。
• 通过概率论证确保正确性：每个顶点和边在期望下仅被 $O(\log n)$ 个结构处理，从而实现低期望更新成本。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种拉斯维加斯数据结构，用于增量式 SSSP，使其在对抗自适应敌手的同时实现亚二次更新时间？
• RQ2 能否在自适应边删除下，改进埃文和希洛阿奇（1981）对近似 SSSP 的 $O(mn)$ 更新时间边界？
• RQ3 能否在所有图密度下，实现比亨岑格等（2014）的 $\tilde{O}(mn^{0.9+o(1)}\log W)$ 边界更快的更新时间？
• RQ4 在自适应敌手模型下，能否高效支持路径报告，或是否必须暴露随机性？
• RQ5 能否在带权有向图中，将增量式可达性已知的 $\tilde{O}(m\sqrt{n})$ 更新时间边界匹配或超越用于近似 SSSP？

主要发现

• 首个针对自适应敌手的增量式 $(1+\epsilon)$-近似 SSSP 拉斯维加斯数据结构，适用于带权有向图，总期望更新时间为 $\tilde{O}(m^{3/4}n^{5/4}\log W)$。
• 对于无权图，相同数据结构的总期望更新时间为 $\tilde{O}(m^{2/3}n^{4/3})$，优于埃文和希洛阿奇（1981）的 $O(mn)$ 边界，除最稀疏图外均更优。
• 当敌手为非自适应时，第二个拉斯维加斯数据结构在无权图中实现 $\tilde{O}(\sqrt{m}n^{3/2})$ 的更新时间，在带权图中实现 $\tilde{O}(m^{2/3}n^{4/3}\log W)$ 的更新时间。
• 一个高概率正确的蒙特卡洛数据结构，在非自适应敌手下，总期望更新时间为 $\tilde{O}((mn)^{7/8}\log W) = \tilde{O}(mn^{3/4}\log W)$。
• 当 $m = \Theta(n^2)$ 时，第二个数据结构将无权图的边界从 $\tilde{O}(n^{2+3/4+o(1)}\log W)$ 改进为 $\tilde{O}(n^{2+1/2})$，带权图从 $\tilde{O}(n^{2+2/3}\log W)$ 改进为 $\tilde{O}(n^{2+1/2})$。
• 当 $m = \Theta(n)$ 时，第三个数据结构将边界从 $\tilde{O}(n^{1+5/6+o(1)}\log W)$ 改进为 $\tilde{O}(n^{1+3/4}\log W)$，在稀疏图中实现显著提升。