[论文解读] Deterministic Algorithms for Decremental Approximate Shortest Paths: Faster and Simpler

Maximilian Probst Gutenberg, Christian Wulff‐Nilsen|Research at the University of Copenhagen (University of Copenhagen)|Jan 29, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 22

一句话总结

本文提出了一种用于无向无权图的增量式 $(1+\epsilon)$-近似单源最短路径的确定性算法，总更新时间达到 $O(mn^{0.5+o(1)})$，在稀疏图和中等密度图中优于以往的确定性算法。该方法结合了新颖的增量覆盖数据结构、优化的重轻分解以及一种新型聚类技术，以维护动态稀疏模拟图，从而在边删除的情况下实现更快更简单的近似距离查询。

ABSTRACT

In the decremental $(1+ε)$-approximate Single-Source Shortest Path (SSSP) problem, we are given a graph $G=(V,E)$ with $n = |V|, m = |E|$, undergoing edge deletions, and a distinguished source $s \in V$, and we are asked to process edge deletions efficiently and answer queries for distance estimates $\widetilde{\mathbf{dist}}_G(s,v)$ for each $v \in V$, at any stage, such that $\mathbf{dist}_G(s,v) \leq \widetilde{\mathbf{dist}}_G(s,v) \leq (1+ ε)\mathbf{dist}_G(s,v)$. In the decremental $(1+ε)$-approximate All-Pairs Shortest Path (APSP) problem, we are asked to answer queries for distance estimates $\widetilde{\mathbf{dist}}_G(u,v)$ for every $u,v \in V$. In this article, we consider the problems for undirected, unweighted graphs. We present a new \emph{deterministic} algorithm for the decremental $(1+ε)$-approximate SSSP problem that takes total update time $O(mn^{0.5 + o(1)})$. Our algorithm improves on the currently best algorithm for dense graphs by Chechik and Bernstein [STOC 2016] with total update time $ ilde{O}(n^2)$ and the best existing algorithm for sparse graphs with running time $ ilde{O}(n^{1.25}\sqrt{m})$ [SODA 2017] whenever $m = O(n^{1.5 - o(1)})$. In order to obtain this new algorithm, we develop several new techniques including improved decremental cover data structures for graphs, a more efficient notion of the heavy/light decomposition framework introduced by Chechik and Bernstein and the first clustering technique to maintain a dynamic \emph{sparse} emulator in the deterministic setting. As a by-product, we also obtain a new simple deterministic algorithm for the decremental $(1+ε)$-approximate APSP problem with near-optimal total running time $ ilde{O}(mn /ε)$ matching the time complexity of the sophisticated but rather involved algorithm by Henzinger, Forster and Nanongkai [FOCS 2013].

研究动机与目标

• 设计一种更快更简单的确定性算法，用于无向无权图中的增量式 $(1+\epsilon)$-近似单源最短路径。
• 克服以往确定性算法的局限性，这些算法要么更新时间更高，要么无法高效处理稀疏或中等密度图。
• 在确定性环境下开发维护动态稀疏模拟图和增量覆盖的新技术，以实现更优的总更新时间。
• 实现与现有随机化算法相当或更优的总更新时间，特别是在稀疏图场景下。
• 为可扩展至近似全源最短路径并实现近乎最优性能的确定性算法提供基础。

提出的方法

• 该算法在不同距离尺度上维护多个近似-MES-树 ($\mathcal{E}_j$)，每棵树负责处理从源点出发的特定距离范围。
• 采用一种新颖的聚类技术，以维护支持高效更新和近似距离查询的动态稀疏模拟图。
• 采用优化的重轻分解框架，改进了轻边和簇数量的界，从而降低更新成本。
• 增强增量覆盖数据结构，以高效追踪顶点连通性，并在边删除时支持快速更新。
• 通过组合多个树的估计值并使用缩放技术，调整 $\epsilon$ 并除以 $1-\epsilon$，实现 $(1+\epsilon)$-近似。
• 通过以一种将维护成本包含在总更新时间内的方法维护优先队列，将查询时间优化至 $O(1)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种用于增量式 $(1+\epsilon)$-近似 SSSP 的确定性算法，使其在稀疏和中等密度图中实现总更新时间 $O(mn^{0.5+o(1)})$？
• RQ2 能否开发用于动态模拟图维护和增量覆盖的新技术，以简化并加速确定性 SSSP 算法？
• RQ3 是否可能仅通过确定性方法在增量设置下达到与随机化算法相当的性能？
• RQ4 尽管当前未支持路径重构，该方法能否扩展以支持近似最短路径报告？
• RQ5 能否使用类似技术改进有向图中 $(1+\epsilon)$-近似 SSSP 的总更新时间？

主要发现

• 所提出的算法实现了 $O(mn^{0.5+o(1)})$ 的总更新时间，相较于以往确定性算法在 $m = O(n^{1.5 - o(1)})$ 的图中实现了多项式级改进。
• 该算法在 $m = O(n^{1.5 - o(1)})$ 时，优于稠密图的最优已知确定性界 $\tilde{O}(n^2)$ 和稀疏图的 $\tilde{O}(n^{1.25}\sqrt{m})$ 界。
• 获得了一种新的用于增量式 $(1+\epsilon)$-近似 APSP 的确定性算法，总运行时间为 $\tilde{O}(mn/\epsilon)$，与 Henzinger 等人先前复杂算法的时间复杂度一致。
• 该算法首次在确定性环境下引入了用于维护动态稀疏模拟图的聚类技术，实现了高效的动态图维护。
• 通过使用优化的增量覆盖数据结构和改进的重轻分解，减少了昂贵更新的次数，提升了整体效率。
• 通过标准数据结构将查询时间优化至 $O(1)$，且维护这些结构的总成本被包含在总更新时间内。