[论文解读] Deformations of vector bundles on coisotropic subvarieties via the Atiyah class

Jeremy Pecharich|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文利用 Atiyah 类，建立了代数 Poisson 代数簇的共变子簇上向量丛的一阶与二阶非交换形变的判据。结果表明，此类形变由一个曲率微分graded李代数控制，且当 $ H^2(Y, \mathcal{O}_Y(E)) = 0 $ 时，$ E \otimes L^\vee $ 的 Atiyah 类在 $ H^1(Y, N(E)) $ 中消失是存在一阶形变的充要条件，从而将经典形变理论推广至 Poisson 设置。

ABSTRACT

Using the Atiyah class we give a criterion for a vector bundle on a coisotropic subvariety, $Y$, of an algebraic Poisson variety $X$ to admit a first and second order noncommutative deformation. We also show noncommutative deformations of a vector bundle are governed by a curved dg Lie algebra which reduces to the classical relative Hochschild complex when the Poisson structure on $X$ is trivial.

研究动机与目标

• 将向量丛的形变理论推广至代数 Poisson 代数簇中的共变子簇。
• 刻画在共变子簇上，一个向量丛何时允许一阶与二阶非交换形变。
• 证明非交换形变由一个曲率微分graded李代数控制，且当 Poisson 结构平凡时，该代数退化为相对 Hochschild 复形。
• 提供一个涉及 Atiyah 类的上同调判据，以判断此类形变的存在性。

提出的方法

• 利用 $ E \otimes L^\vee $ 的 Atiyah 类定义 $ H^1(Y, N(E)) $ 中的态射 $ at_N(E \otimes L^\vee) $。
• 应用谱序列分析 $ H^0(Y, \wedge^2 N(E)) $、$ H^1(Y, N(E)) $ 与 $ H^2(Y, \mathcal{O}_Y(E)) $ 中的障碍。
• 引入法丛复形 $ \mathcal{N}_E^\bullet $，其微分 $ d_{N_E} $ 通过一阶形变算子 $ \gamma $ 的曲率定义。
• 依赖于假设 $ \beta_1^X \equiv 0 $，以简化余法丛 $ N^\vee $ 上的李代数结构，从而定义曲率 $ c(\gamma) $。
• 使用局部方程 (A.1)–(A.8) 描述二阶形变中模作用与过渡函数的相容性。
• 应用引理 A.1 与 A.2，确保在 $ H^2(Y, \mathcal{O}_Y(E)) = 0 $ 的假设下，存在满足上链条件的微分算子。

实验结果

研究问题

• RQ1 当向量丛 $ E $ 在共变子簇 $ Y \subset X $ 上时，其何时允许一阶非交换形变？
• RQ2 Atiyah 类在决定此类形变障碍中起什么作用？
• RQ3 向量丛 $ E $ 的非交换形变与 $ X $ 上的 Poisson 结构有何关系？
• RQ4 非交换形变的控制代数结构是什么？
• RQ5 为何 $ H^2(Y, \mathcal{O}_Y(E)) $ 的消失会影响形变的存在性？

主要发现

• 当 $ H^2(Y, \mathcal{O}_Y(E)) = 0 $ 时，$ E $ 的一阶形变存在的充要条件是 $ at_N(E \otimes L^\vee) = 0 $ 在 $ H^1(Y, N(E)) $ 中成立。
• 当 $ X $ 与 $ Y $ 为仿射时，存在全局分裂形变 $ \mathcal{E}_1 \simeq E \oplus \epsilon E $，且该形变由一族满足粘合条件的算子 $ \gamma_E^i: N^\vee \to \mathcal{D}^1_\heartsuit(E) $ 分类。
• 曲率 $ c(\gamma) $ 衡量形变算子 $ \gamma $ 作为李代数同态失败的程度，其消失是二阶形变存在的必要条件。
• 向量丛 $ E $ 的非交换形变由一个曲率微分graded李代数控制，当 Poisson 二阶张量 $ P $ 消失时，该代数退化为经典相对 Hochschild 复形。
• 一阶形变存在的障碍位于 $ H^0(Y, \wedge^2 N(E)) $，且当且仅当 $ Y $ 是共变子簇时该障碍消失。
• 假设 $ H^2(Y, \mathcal{O}_Y(E)) = 0 $ 确保了过渡函数的上链条件可解，从而允许全局形变的构造。