[论文解读] Degeneration and gluing of Kuranishi structures in Gromov-Witten theory and the degeneration/gluing axioms for open Gromov-Witten invariants under a symplectic cut

Chien‐Hao Liu, Shing‐Tung Yau|ArXiv.org|Sep 18, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 55被引用 6

一句话总结

本文在由辛割补构造的几乎复退化族的纤维上构造了开稳定 $J$-全纯映射的模空间的族库兰西结构，证明退化纤维在奇异辛空间 $Y_1 \cup_D Y_2$ 上的映射模空间上诱导出库兰西结构。关键贡献在于从辛割补出发推导出开格罗莫夫-威滕不变量的退化与粘合公理，从而实现通过奇异库兰西空间上带装饰拉格朗日子流形的虚拟基本链构造不变量的两步法。

ABSTRACT

We study the degeneration and the gluing of Kuranishi structures in Gromov-Witten theory under a symplectic cut. This leads us to a degeneration axiom and a gluing axiom for open Gromov-Witten invariants. They provide then a route to the construction of virtual fundamental chains via specialization. Comments on the equivalence of the degeneration formula of closed Gromov-Witten invariants by Li-Ruan/Li versus Ionel-Parker are given in the Appendix.

研究动机与目标

• 在由辛割补产生的几乎复退化族的纤维上，为开稳定 $J$-全纯映射的模空间构造族库兰西结构。
• 证明该族库兰西结构的退化纤维在奇异空间 $Y_1 \cup_D Y_2$ 上的映射模空间上诱导出库兰西结构，其中 $L$ 位于光滑部分。
• 在辛割补框架下，从库兰西结构推导开格罗莫夫-威滕不变量的退化与粘合公理，提供通过虚拟基本链定义不变量的框架。
• 通过分析方法解决开格罗莫夫-威滕不变量中基本链类选择的歧义，实现不变量的两步构造。

提出的方法

• 在 $\overline{\cal M}_{\bullet}(W/B,L|\bullet)$ 上以福崎-奥诺格式构造族库兰西结构，即由辛割补产生的退化族 $W/B$ 的纤维上开稳定 $J$-全纯映射的模空间。
• 证明该族库兰西结构的退化纤维在 $Y_1 \cup_D Y_2$ 上的映射模空间上诱导出库兰西结构，且 $L$ 位于光滑部分。
• 利用族库兰西结构的良好平坦性，推导开格罗莫夫-威滕不变量的退化与粘合公理。
• 将公理应用于将开格罗莫夫-威滕不变量的构造分解为两步：(1) 通过退化/粘合公理解决基本链类选择的歧义；(2) 在带有相对映射诱导装饰的奇异库兰西空间上进行交集理论。
• 利用分层结构分层 $\{{\cal M}_{(g,h),(n,\vec{m})}^{(i)}(Y,L|\underline{\beta},\vec{\gamma},\mu)\}_{i \in \mathbb{Z}_{\geq 0}}$ 来建模退化过程，其中深度 $i$ 的层对应于目标空间 $Y_{[i]}$，其虚拟余维数为 $2i$。
• 推测在 Li-Ruan/Li 与 Ionel-Parker 框架中存在类似于 [I-P2: 恒等式 (12.4)] 的容斥恒等式，通过未约化的库兰西结构的伪嵌入 $\tilde{\iota}^{(i)}$ 实现，从而重现 [I-P2] 的退化公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在由辛割补产生的几乎复退化族的纤维上，为开稳定 $J$-全纯映射的模空间构造族库兰西结构？
• RQ2 退化后，奇异目标 $Y_1 \cup_D Y_2$ 上的映射模空间上诱导出的库兰西结构是什么？
• RQ3 在辛割补框架下，开格罗莫夫-威滕不变量的退化与粘合公理由库兰西结构框架如何产生？
• RQ4 能否通过这些公理由分析方法解决开格罗莫夫-威滕不变量中基本链类选择的歧义？
• RQ5 在 Li-Ruan/Li 与 Ionel-Parker 框架中是否存在类似于 [I-P2] 的容斥恒等式，能够重现相同的退化/粘合公式？

主要发现

• 在 $\overline{\cal M}_{\bullet}(W/B,L|\bullet)$ 上以福崎-奥诺格式构造的族库兰西结构确保了推导公理所必需的良好平坦性。
• 该结构的退化纤维在 $Y_1 \cup_D Y_2$ 上的开稳定映射模空间上诱导出库兰西结构，且 $L$ 位于光滑部分，从而使得在奇异目标上定义不变量成为可能。
• 退化与粘合公理由库兰西结构推导而出，为通过虚拟基本链系统性地定义开格罗莫夫-威滕不变量提供了方法。
• 该构造支持两步程序：(1) 通过公理解决基本链类选择的歧义；(2) 在带有相对映射装饰的奇异库兰西空间上执行交集理论。
• 分层结构 $\{{\cal M}_{(g,h),(n,\vec{m})}^{(i)}(Y,L|\underline{\beta},\vec{\gamma},\mu)\}_{i \in \mathbb{Z}_{\geq 0}}$ 表明，深度 $i$ 的层的虚拟余维数为 $2i$，与 $\dim \mathbb{G}_m[i]$ 一致，且与 $\mathbb{G}_m[i]$-作用的刚性化相关。
• 本文推测，在 Li-Ruan/Li 与 Ionel-Parker 框架中存在类似于 [I-P2: 恒等式 (12.4)] 的容斥恒等式，通过未约化库兰西结构的伪嵌入 $\tilde{\iota}^{(i)}$ 实现，将重现 [I-P2] 的退化公式，并统一三种方法。