[论文解读] Degeneration of Kahler-Einstein manifolds of negative scalar curvature

Jian Song|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用 16

一句话总结

该论文将具有负数量曲率的Kähler-Einstein流形族在退化时的Gromov-Hausdorff极限确定为有限个完全、开的Kähler-Einstein流形的不相交并集，每个流形的Hausdorff维数至多为 $2n-4$ 的奇点。该极限空间同构于一个半对数 canonical 模型的非对数终端点集的补集，为紧化负Kähler-Einstein流形的模空间奠定了基础。

ABSTRACT

Let $π: \mathcal{X}^* ightarrow B^*$ be an algebraic family of compact Kähler manifolds of complex dimension $n$ with negative first Chern class over a punctured disc $B^*\in \mathbb{C}$. Let $g_t$ be the unique Kähler-Einstein metric on $\mathcal{X}_t= π^{-1}(t)$. We show that as $t ightarrow 0$, $(\mathcal{X}_t, g_t)$ converges in pointed Gromov-Hausdorff topology to a unique finite disjoint union of complete metric length spaces $\coprod_{α=1}^\mathcal{A} (Y_α, d_α)$ without loss of volume. Each $(Y_α, d_α)$ is a smooth open Kähler-Einstein manifold of complex dimension n outside its closed singular set of Hausdorff dimension no greater than $2n-4$. Furthermore, $\coprod_{α=1}^\mathcal{A} Y_α$ is a quasi-projective variety isomorphic to $\mathcal{X}_0 \setminus LCS(\mathcal{X}_0)$, where $\mathcal{X}_0$ is a projective semi-log canonical model and $LCS(\mathcal{X}_0)$ is the non-log terminal locus of $\mathcal{X}_0$. This is the first step of our approach toward compactification of the analytic geometric moduli space of Kähler-Einstein manifolds of negative scalar curvature.

研究动机与目标

• 理解Kähler-Einstein流形在负数量曲率下在族中退化时的几何与分析行为。
• 在穿孔圆盘上为这类退化建立Gromov-Hausdorff极限。
• 将极限空间的结构识别为具有受控奇点的完全Kähler-Einstein流形的不相交并集。
• 通过半对数 canonical 模型与非对数终端点集，将分析极限与代数几何联系起来。
• 为紧化负Kähler-Einstein流形的模空间奠定基础。

提出的方法

• 分析一个在穿孔圆盘上定义的紧致Kähler流形族 $\pi: \mathcal{X}^* \to B^*$，满足 $c_1 < 0$。
• 利用每根纤维 $\mathcal{X}_t$ 上Kähler-Einstein度量 $g_t$ 的存在性与唯一性，满足 $\mathrm{Ric}(g_t) = -g_t$。
• 应用部分 $C^0$-估计与距离估计，控制在中心纤维附近的度量行为。
• 通过度量空间的收敛性 $ (\mathcal{X}_t, g_t) \to \coprod_{\alpha=1}^{\mathcal{A}} (Y_\alpha, d_\alpha) $ 建立Gromov-Hausdorff极限。
• 构造一个从 $ (\mathbf{Y}, d_\mathbf{Y}) $ 到 $ (\mathcal{X}_0, \chi) $ 的典范映射 $\Phi$，其在正则点集上扩展恒等映射。
• 利用全纯线丛截面与亚纯函数，证明极限映射的单射性与拓扑刚性。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有负数量曲率的Kähler-Einstein流形族在退化时的Gromov-Hausdorff极限是什么？
• RQ2 极限空间在代数几何中与退化中心纤维的关系如何？
• RQ3 极限度量空间中奇点集的结构是什么？
• RQ4 极限空间能否被识别为一个拟射影簇减去其非对数终端点集？
• RQ5 分析极限如何与中心纤维的半对数 canonical 模型相关联？

主要发现

• 族 $ (\mathcal{X}_t, g_t) $ 在带基点的Gromov-Hausdorff拓扑下收敛于有限个完全度量长度空间的不相交并集 $ \coprod_{\alpha=1}^{\mathcal{A}} (Y_\alpha, d_\alpha) $。
• 极限空间的总体积等于每个 $ (\mathcal{X}_t, g_t) $ 的体积，退化过程中保持体积不变。
• 每个 $ (Y_\alpha, d_\alpha) $ 在Hausdorff维数至多为 $ 2n - 4 $ 的奇点集之外是复维数为 $ n $ 的光滑Kähler-Einstein流形。
• 并集 $ \coprod_{\alpha=1}^{\mathcal{A}} Y_\alpha $ 同构于 $ \mathcal{X}_0 \setminus \mathrm{LCS}(\mathcal{X}_0) $，其中 $ \mathcal{X}_0 $ 是一个半对数 canonical 模型。
• 极限空间 $ \mathbf{Y} $ 通过一个典范、单射且连续的映射 $ \Phi $ 同胚于 $ \mathcal{X}_0 \setminus \mathrm{LCS}(\mathcal{X}_0) $。
• 极限映射 $ \Phi $ 是从Gromov-Hausdorff极限到中心纤维正则点集的双射、Lipschitz同胚。