[论文解读] Riemannian geometry of Kahler-Einstein currents II: an analytic proof of Kawamata's base point free theorem

Jian Song|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 29被引用 14

一句话总结

本文通过里奇流、黎曼流形的退化理论以及$L^2$-估计，提供了川上基点自由定理的解析证明，证明了当一个射影流形的canonical bundle是big且nef时，其为半正则。关键贡献在于在极小模型的canonical model上构造了具有全局黎曼结构的唯一奇异凯勒爱因斯坦度量，为奇异空间上的科德瓦嵌入定理提供了黎曼几何的对应结果。

ABSTRACT

It is proved by Kawamata that the canonical bundle of a projective manifold is semi-ample if it is big and nef. We give an analytic proof using the Ricci flow, degeneration of Riemannian manifolds and $L^2$-theory. Combined with our earlier results, we construct unique singular Kahler-Einstein metrics with a global Riemannian structure on canonical models. Our approach can be viewed as the Kodaira embedding theorem on singular metric spaces with canonical Kahler metrics.

研究动机与目标

• 提供川上基点自由定理的解析、黎曼几何证明，无需假设丰庶猜想。
• 在一般型极小模型的canonical model上，建立具有有界势函数和全局黎曼结构的唯一奇异凯勒爱因斯坦度量的存在性。
• 通过将凯勒-里奇流的长时间行为与奇异凯勒爱因斯坦度量的存在性及双有理几何联系起来，拓展解析极小模型程序。
• 通过一致的直径界和里奇平坦逼近，证明卡拉比-丘流形上big且nef线丛的半正则性。

提出的方法

• 对具有big且nef canonical bundle的射影流形上的凯勒-里奇流应用先验估计。
• 利用黎曼流形退化理论分析里奇流的Gromov-Hausdorff极限。
• 在奇异度量空间上应用Hörmander的$"]( ar\theta ext{-方程}的L^2 ext{-估计，以控制势函数的增长。
• 通过Donaldson-Sun的$H$-条件对Tian的部分$C^0$-估计进行变体，以控制极限度量。
• 在卡拉比-丘流形上构造具有统一有界直径的里奇平坦凯勒度量。
• 利用全纯截面的增长和曲率估计，证明极限势函数$\varphi_\infty$的$L^\infty$-界。

实验结果

研究问题

• RQ1 川上基点自由定理能否通过分析与几何方法而非仅代数几何方法来证明？
• RQ2 在一般型极小模型上的凯勒-里奇流是否收敛到具有明确定义的黎曼结构的奇异凯勒爱因斯坦度量？
• RQ3 能否通过里奇平坦逼近和$L^2$-估计证明卡拉比-丘流形上big且nef线丛的半正则性？
• RQ4 在赋予凯勒爱因斯坦度量的canonical model的光滑部分上，其度量完备化具有何种结构？
• RQ5 能否通过解析极小模型程序和奇异凯勒爱因斯坦度量证明canonical ring的有限生成性？

主要发现

• 若射影流形$X$的canonical bundle$K_X$是big且nef，则其为半正则，该结论通过里奇流和$L^2$理论得到证明。
• 在canonical model$X_{can}$的光滑部分上，存在唯一的奇异凯勒爱因斯坦度量$g_{KE}$，其可延拓为具有有界局部势函数的当前。
• $(X_{can}^\circ, g_{KE})$的度量完备化是一个紧致的度量长度空间$(X_\infty, d_\infty)$，其同胚于$X_{can}$，且奇异集的Hausdorff维数至多为$n-4$。
• 极限度量空间$(X_\infty, d_\infty)$在奇异集之外是凸的，且光滑部分与$(X_{can}^\circ, g_{KE})$等距。
• 在不假设川上定理的前提下，建立了凯勒-爱因斯坦方程中极限势函数$\varphi_\infty$的$L^\infty$-界。
• 相同方法通过里奇平坦逼近中的一致直径界，证明了$ c_1(X)=0$的卡拉比-丘流形上big且nef线丛的半正则性。