[论文解读] Degenerations and mirror contractions of Calabi-Yau complete intersections via Batyrev-Borisov Mirror symmetry

Anvar R. Mavlyutov|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用 7

一句话总结

该论文通过Batyrev-Borisov镜像对称框架，在卡拉比-丘完备交与正则卡拉比-丘超曲面之间建立了几何过渡。通过在反射多面体的Minkowski和分解所对应的Cayley锥的对偶中构造一个反射多面体，识别出一个对应于卡拉比-丘完备交退化为超曲面的 nef-划分，并利用对偶 nef-划分与模空间包含关系计算了相应的镜像收缩。

ABSTRACT

We show that the dual of the Cayley cone, associated to a Minkowski sum decomposition of a reflexive polytope, contains a reflexive polytope admitting a nef-partition. This nef-partition corresponds to a Calabi-Yau complete intersection in a Gorenstein Fano toric variety degenerating to an ample Calabi-Yau hypersurface in another Fano toric variety. Using the Batyrev-Borisov mirror symmetry construction, we found the mirror contraction of a Calabi-Yau complete intersection to the mirror of the ample Calabi-Yau hypersurface.

研究动机与目标

• 在Gorenstein Fano toric簇中建立卡拉比-丘完备交到正则卡拉比-丘超曲面的几何过渡。
• 在反射多面体的Minkowski和分解所对应的Cayley锥的对偶中，识别出一个反射多面体。
• 在此反射多面体上构造一个对应于退化卡拉比-丘完备交的 nef-划分。
• 利用Batyrev-Borisov对偶性，实现完备交到其镜像超曲面的镜像收缩。
• 通过紧化后的二次扇形描述复模空间与Kähler模空间的诱导包含关系。

提出的方法

• 利用Cayley锥构造，将反射多面体的Minkowski和分解关联到一个高维Fano toric簇。
• 在Cayley锥的对偶中识别出一个反射多面体，其同构于包含原多面体与标准基向量的缩放凸包。
• 通过不等式 ⟨Δi,∇j⟩ ≥ −δij 对所有 i,j 定义对偶 nef-划分，应用Batyrev-Borisov镜像对称构造。
• 将卡拉比-丘完备交的镜像实现为对偶Fano toric簇中超曲面的最大极化Crepant部分解析。
• 通过二次扇形的紧化模空间，描述退化与收缩过程对应的复模空间与Kähler模空间的包含关系。
• 建立复模空间与镜像Kähler模空间之间的交换图，通过镜像态射关联退化族与收缩族。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过Cayley锥对偶中的 nef-划分，将Gorenstein Fano toric簇中的卡拉比-丘完备交退化为正则卡拉比-丘超曲面？
• RQ2 Cayley锥的对偶是否包含一个反射多面体，其上存在一个 nef-划分，可实现此类退化？
• RQ3 Batyrev-Borisov镜像对称构造如何关联完备交的镜像与最终超曲面的镜像？
• RQ4 退化族的复模空间与镜像族的Kähler模空间之间存在何种几何关系？
• RQ5 模空间的包含关系在镜像对称框架中如何反映退化与收缩过程？

主要发现

• Cayley锥的对偶中包含一个反射多面体，其同构于 (k+1)Conv(Δ0, Δ1+e1, ..., Δk+ek) − ∑ei，该多面体上存在一个对应于卡拉比-丘完备交的 nef-划分。
• 该 nef-划分诱导了卡拉比-丘完备交向另一Fano toric簇中正则卡拉比-丘超曲面的退化。
• 完备交的镜像被实现为对偶Fano toric簇中超曲面的最大极化Crepant部分解析，且保持了字符串Hodge数。
• 几何过渡诱导了紧化模空间的包含关系：M(Y′′Δ∗)poly ⊂ M(Y′ˆ∇0,…,ˆ∇k)poly 与 K(Y′ˆ∇0,…,ˆ∇k)toric ⊂ K(Y′′Δ∗)toric。
• 模空间之间的镜像态射构成一个交换图，复模空间侧对应退化，Kähler模空间侧对应收缩。
• 模空间的包含关系通过对应多面体的二次扇形的包含关系显式描述。