[论文解读] Towards the Mirror Symmetry for Calabi-Yau Complete intersections in Gorenstein Toric Fano Varieties

Lev Borisov|ArXiv.org|Oct 2, 1993

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 1被引用 99

一句话总结

本文提出了反射性格点多面体的组合对偶性，将 Batyrev 的极对偶性推广至 Gorenstein 张量 Fano 簇中的 Calabi-Yau 完全交。通过引入反射多面体顶点的 nef-划分，并利用分段线性函数构造对偶多面体，作者在对偶张量簇中的 Calabi-Yau 完全交族之间建立了镜像对称对应关系，推测实现了这一更广义 Calabi-Yau 流形类别的镜像对称。

ABSTRACT

We propose a combinatorical duality for lattice polyhedra which conjecturally gives rise to the pairs of mirror symmetric families of Calabi-Yau complete intersections in toric Fano varieties with Gorenstein singularities. Our construction is a generalization of the polar duality proposed by Batyrev for the case of hypersurfaces.

研究动机与目标

• 将 Batyrev 对超曲面的极对偶性推广至 Gorenstein 张量 Fano 簇中的完全交。
• 在超曲面情形之外，系统地构造镜像对称 Calabi-Yau 完全交族。
• 在反射性多面体的 nef-划分上定义一个组合对合，该对合诱导镜像对称。
• 通过分段线性函数与顶点划分，在反射性多面体与其对偶之间建立对偶性。
• 推测该对偶性在对偶张量 Fano 簇 PΔ* 与 P∇* 中产生 Calabi-Yau 完全交的镜像对。

提出的方法

• 在包含原点的 Mℝ 中定义一个反射性多面体 Δ，其对偶 Δ* 在 Nℝ 中定义为 {y ∈ Nℝ | ⟨x,y⟩ ≥ -1 对所有 x ∈ Δ}。
• 将 Δ 的顶点划分为不相交子集 E₁,…,Er，使得存在整值凸 Σ[Δ]-分段线性函数 φ₁,…,φᵣ，满足当 eⱼ ∈ Eᵢ 时 φᵢ(eⱼ)=1，否则为 0。
• 对 i=1,…,r，构造 r 个凸多面体 Δᵢ = Conv({0} ∪ Eᵢ) 和 r 个对偶多面体 ∇ᵢ = {y ∈ Nℝ | ⟨x,y⟩ ≥ -φᵢ(x)}。
• 定义对偶反射性多面体 ∇ = Conv(∇₁ ∪ ⋯ ∪ ∇ᵣ)，并证明 ∇ 是反射性的，且 ∇* = Δ₁ + ⋯ + Δᵣ。
• 证明对偶构造的对偶可恢复原始构造，从而在反射性多面体的 nef-划分集合上建立一个对合。
• 推测该对偶性在张量 Fano 簇 PΔ* 与 P∇* 中的 Calabi-Yau 完全交族之间诱导镜像对称。

实验结果

研究问题

• RQ1 Batyrev 对 Calabi-Yau 超曲面的极对偶性能否推广至 Gorenstein 张量 Fano 簇中的完全交？
• RQ2 何种反射性多面体上的组合结构可导致完全交的镜像对称？
• RQ3 如何利用反射多面体顶点的 nef-划分来定义 Calabi-Yau 完全交的对偶族？
• RQ4 是否存在一种自然对偶性，将两个对偶张量 Fano 簇的多面体数据联系起来，从而诱导其 Calabi-Yau 完全交的镜像对称？
• RQ5 通过分段线性函数构造对偶多面体，是否能在反射性多面体的 nef-划分集合上产生一个自逆对合？

主要发现

• 对偶构造的对偶可恢复原始反射性多面体及其 nef-划分，从而在反射性多面体的 nef-划分集合上建立一个对合。
• 构造满足 Δ* = ∇₁ + ⋯ + ∇ᵣ 且 ∇* = Δ₁ + ⋯ + Δᵣ，表明两组多面体家族之间具有对称对偶性。
• 对偶多面体 ∇ 是反射性的，确保镜像构造仍属于 Gorenstein 张量 Fano 簇类。
• 对偶多面体 ∇ᵢ 的顶点恰好是 ∇ 的顶点，且对偶划分 E′₁,…,E′ᵣ 构成 ∇ 的一个 nef-划分，从而完成对偶闭环。
• 该对偶性在 PΔ* 与 P∇* 中的 Calabi-Yau 完全交族之间诱导了镜像对称对应关系，如推测所示。
• 该对偶性通过分段线性函数 φᵢ 及其对偶 ψᵢ 实现，其中 ψᵢ(y) = -minₓ∈Δᵢ⟨x,y⟩，确保对偶构造之间的兼容性。