[论文解读] Density and gradient estimates for non degenerate Brownian SDEs with unbounded measurable drift

Stéphane Menozzi, A. Pesce+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 25被引用 4

一句话总结

该论文为具有无界可测漂移和霍尔德连续扩散系数的非退化伊藤随机微分方程（SDEs）的过渡密度及其二阶导数建立了双边高斯界和点态梯度估计。通过结合参数法与基于流的正则化以处理无界漂移，作者推导出的估计反映了初始条件通过辅助流由漂移引起的传输，将经典的阿龙松型界扩展至无界漂移情形，并显式体现了漂移空间正则性的影响。

ABSTRACT

We consider non degenerate Brownian SDEs with H{ö}lder continuous in space diffusion coefficient and unbounded drift with linear growth. We derive two sided bounds for the associated density and pointwise controls of its derivatives up to order two under some additional spatial H{ö}lder continuity assumptions on the drift. Importantly, the estimates reflect the transport of the initial condition by the unbounded drift through an auxiliary, possibly regularized, flow.

研究动机与目标

• 将经典的阿龙松型双边密度估计推广至具有无界可测漂移和霍尔德连续扩散系数的非退化SDE。
• 在漂移的正则性假设最小的前提下，提供过渡密度的一阶和二阶空间导数的点态界。
• 通过引入一个确定性流来体现无界漂移对密度的影响，该流可传输初始条件。
• 通过正则化流方法，建立反映漂移对初始点传输效应的估计，即使漂移无界亦成立。
• 将现有关于有界系数SDE梯度估计的结果推广至具有线性增长和霍尔德连续性的无界漂移情形。

提出的方法

• 应用参数法构造具有无界漂移的SDE过渡密度的级数展开。
• 引入与漂移 $b$ 相关的确定性流 $\theta_t(x)$，以捕捉初始条件 $x$ 的传输。
• 使用流的正则化版本以控制参数法核展开中漂移的无界性。
• 利用漂移在空间上的霍尔德连续性以及扩散系数远离零的有界性，推导出一致估计。
• 通过控制参数法展开中的迭代核，结合时空缩放和高斯型估计，推导出密度及其导数的界。
• 应用热核的插值与梯度估计，以控制密度及其导数在空间变量上的霍尔德连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将非退化SDE过渡密度的双边高斯界扩展至具有线性增长的无界可测漂移情形？
• RQ2 当漂移在空间上无界但具有霍尔德连续性时，密度的一阶和二阶空间导数如何表现？
• RQ3 漂移对初始条件的传输在多大程度上影响过渡密度的形状与衰减特性？
• RQ4 能否通过引入正则化流，将参数法适配于处理无界漂移？
• RQ5 漂移的霍尔德连续性在获得密度一致梯度估计中起到何种作用？

主要发现

• 过渡密度 $p(0,x,t,y)$ 满足如下双边高斯界：$C^{-1}g_{\lambda^{-1}}(t,\theta_t(x)-y) \leq p(0,x,t,y) \leq C g_\lambda(t,\theta_t(x)-y)$，其中 $\theta_t(x)$ 为与漂移相关的流。
• 密度的一阶和二阶空间导数满足点态估计 $|\nabla^j_x p(0,x,t,y)| \lesssim t^{-j/2} g_\lambda(t,\theta_t(x)-y)$，$j=1,2$，反映出由漂移流引起的传输效应。
• 常数 $C$ 和 $\lambda$ 依赖于扩散的非退化性、漂移的霍尔德范数、维度 $d$ 以及最大时间区间，但不依赖于初始点 $x$。
• 估计对漂移的正则化具有鲁棒性，且流 $\theta_t(x)$ 有效将高斯密度的中心移动以补偿无界漂移的影响。
• 通过利用流吸收核估计中漂移的影响，该方法成功控制了即使漂移无界时的参数法展开。
• 结果将经典阿龙松界推广至无界漂移情形，其关键创新在于显式将漂移引起的流纳入高斯中心。