[论文解读] Derived categories of Quot schemes of locally free quotients

Qingyuan Jiang|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 65被引用 8

一句话总结

本文证明了函子 $ F $ 可由光滑仿射 $ S $-概形 $ H_S $ 表示，其中 $ H_S $ 构造为 $ \mathscr{W} \otimes \mathscr{V}^\vee $ 上对称代数的相对谱，且证明了 $ H_S $ 上的典范态射 $ \tau $ 普遍核心表示从 $ \mathscr{W} $ 到 $ \mathscr{V} $ 的态射。关键贡献在于通过这一光滑参数空间实现了导出 Quot 概形的几何实现。

ABSTRACT

This paper studies the derived category of the Quot scheme of rank $d$ locally free quotients of a sheaf $\mathscr{G}$ of homological dimension $\le 1$ over a scheme $X$. In particular, we propose a conjecture about the structure of its derived category and verify the conjecture in various cases. This framework allows us to relax certain regularity conditions on various known formulae -- such as the ones for blowups (along Koszul-regular centers), Cayley's trick, standard flips, projectivizations, and Grassmannain-flips -- and supplement these formulae with the results on mutations and relative Serre functors. This framework also leads us to many new phenomena such as virtual flips, and structural results for the derived categories of (i) $\mathrm{Quot}_2$ schemes, (ii) flips from partial desingularizations of $\mathrm{rank}\le 2$ degeneracy loci, and (iii) blowups along determinantal subschemes of codimension $\le 4$.

研究动机与目标

• 通过可表示函子提供局部自由商的几何构造。
• 建立参数化从 $ \mathscr{W} $ 到 $ \mathscr{V} $ 的态射的 Hom-概形 $ H_S $ 的光滑性与可表示性。
• 证明 $ H_S $ 上的典范态射 $ \tau $ 对任意 $ T \to S $ 普遍核心表示从 $ \mathscr{W}_T $ 到 $ \mathscr{V}_T $ 的态射。
• 通过这一光滑参数空间为 Quot 概形的导出范畴分析奠定基础。

提出的方法

• 通过概形 $ H_S := \underline{\operatorname{Spec}}_S(\operatorname{Sym}^\bullet(\mathscr{W} \otimes \mathscr{V}^\vee)) $ 表示函子 $ F $，该概形在 $ S $ 上光滑。
• 利用典范同态 $ \mathscr{W} \otimes \mathscr{V}^\vee \to \operatorname{Sym}^\bullet(\mathscr{W} \otimes \mathscr{V}^\vee) $ 构造典范态射 $ \tau: \mathscr{W}_{H_S} \to \mathscr{V}_{H_S} $。
• 利用相对谱的普遍性质，对任意态射 $ \sigma \in \operatorname{Hom}_{\mathscr{O}_T}(\mathscr{W}_T, \mathscr{V}_T) $，诱导出唯一的 $ S $-态射 $ g_\sigma: T \to H_S $。
• 验证 $ g_\sigma^*\tau = \sigma $，从而确认 $ \tau $ 的普遍核心表示性。
• 利用 $ H_S $ 的光滑性，确保其在导出分析中具有良好的几何与范畴性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过几何方式表示由 $ \mathscr{W} $ 商 $ \mathscr{V} $ 的局部自由商的函子？
• RQ2 参数化从 $ \mathscr{W} $ 到 $ \mathscr{V} $ 的态射的概形 $ H_S $ 的结构是什么？
• RQ3 $ H_S $ 上的典范态射 $ \tau $ 与任意态射 $ \sigma: \mathscr{W}_T \to \mathscr{V}_T $ 有何关系？
• RQ4 $ H_S $ 的几何性质如何，特别是其光滑性？

主要发现

• 函子 $ F $ 可由光滑仿射 $ S $-概形 $ H_S = \underline{\operatorname{Spec}}_S(\operatorname{Sym}^\bullet(\mathscr{W} \otimes \mathscr{V}^\vee)) $ 表示。
• 典范态射 $ \tau: \mathscr{W}_{H_S} \to \mathscr{V}_{H_S} $ 由典范映射 $ \mathscr{W} \otimes \mathscr{V}^\vee \to \operatorname{Sym}^\bullet(\mathscr{W} \otimes \mathscr{V}^\vee) $ 导出。
• 对任意 $ T \to S $ 及态射 $ \sigma \in \operatorname{Hom}_{\mathscr{O}_T}(\mathscr{W}_T, \mathscr{V}_T) $，存在唯一的 $ S $-态射 $ g_\sigma: T \to H_S $，使得 $ g_\sigma^*\tau = \sigma $。
• 概形 $ H_S $ 在 $ S $ 上光滑，确保其在导出范畴构造中具有良好的几何行为。