[论文解读] Description of coupling in the category of transitive Lie algebroids

Li XiaoYu, Mishchenko, Alexander S.|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用 5

一句话总结

本文建立了具有固定有限维李代数 $\mathfrak{g}$ 的传递李代数胚的所有耦合集合与结构群为 ${Γ\text{Aut}}(\mathfrak{g})^\delta$ 的局部平凡结构等价类集合之间的一一对应关系，其中 ${Γ\text{Aut}}(\mathfrak{g})^\delta$ 是 $\mathfrak{g}$ 的自同构群上的新拓扑。该对应关系实现了对传递李代数胚的分类空间的几何构造，并澄清了其示性类的范畴描述。

ABSTRACT

In our previous paper (arXiv:1306.5449) we have given a sufficient and necessary condition when the coupling between Lie algebra bundle (LAB) and the tangent bundle exists in the sense of Mackenzie (\cite{Mck-2005}, Definition 7.2.2) for the theory of transitive Lie algebroids. Namely we have defined a new topology on the group $\Aut( g)$ of all automorphisms of the Lie algebra $ g$, say $\Aut( g)^δ$, and show that tangent bundle $TM$ can be coupled with the Lie algebra bundle $L$ if and only if the Lie algebra bundle L admits a local trivial structure with structural group endowed with such new topology. But the question how many couplings exist under these conditions still remains open. Here we make the result more accurate and prove that there is a one-to-one correspondence between the family $Coup(L)$ of all coupling of the Lie algebra bundle $L$ with fixed finite dimensional Lie algebra $ g$ as the fiber and the structural group $\Aut( g)$ of all automorphisms of Lie algebra $ g$ and the tangent bundle $TM$ and the family $LAB^δ(L)$ of equivalent classes of local trivial structures with structural group $\Aut( g)$ endowed with new topology $\Aut( g)^δ$. This result gives a way for geometric construction of the classifying space for transitive Lie algebroids with fixed structural finite dimensiaonal Lie algebra $ g$. Hence we can clarify a categorical description of the characteristic classes for transitive Lie algebroids and a comparison with that by J. Kubarski.

研究动机与目标

• 解决先前工作中已建立存在条件后，李代数丛与切丛之间存在多少耦合的开放问题。
• 为具有固定有限维李代数 $\mathfrak{g}$ 作为纤维的传递李代数胚提供分类空间的几何实现。
• 通过将示性类与 $\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})^\delta$ 上的拓扑联系起来，澄清传递李代数胚示性类的范畴描述。
• 建立线性联络（模伴随）与关于结构群的新拓扑下的局部平凡结构之间的精确对应关系。

提出的方法

• 在有限维李代数 $\mathfrak{g}$ 的自同构群上定义一种新拓扑 $\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})^\delta$，以改进标准拓扑。
• 构造一个映射 $f: \mathrm{Coup}(L) \to \mathrm{LAB}^\delta(L)$，通过沿路径的平行移动，将每个耦合（模伴随的联络）映射为结构群为 $\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})^\delta$ 的局部平凡结构。
• 利用局部平凡化和单位分解，定义一个逆映射 $g: \mathrm{LAB}^\delta(L) \to \mathrm{Coup}(L)$，从平凡化构造联络。
• 证明映射 $f$ 和 $g$ 是良定义的且互为逆映射，从而在两组对象之间建立双射。
• 利用该双射证明具有纤维 $\mathfrak{g}$ 的传递李代数胚的分类空间 $\mathcal{B}_\mathfrak{g}$ 可通过 $\mathrm{LAB}^\delta(L)$ 几何实现。
• 借助该对应关系，将示性类的范畴描述与 J. Kubarski 的早期工作进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，李代数丛 $L$ 与切丛 $TM$ 之间存在耦合？
• RQ2 当此类耦合存在时，$L$ 与 $TM$ 之间有多少个不同的耦合？
• RQ3 耦合与以 $\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})$ 为结构群的 $L$ 上的局部平凡结构之间的确切关系是什么？
• RQ4 能否通过此对应关系几何构造具有固定纤维 $\mathfrak{g}$ 的传递李代数胚的分类空间？
• RQ5 新拓扑 $\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})^\delta$ 如何影响示性类的分类？

主要发现

• 存在一个从李代数丛 $L$ 的所有耦合族 $\mathrm{Coup}(L)$ 到以 $\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})^\delta$ 为结构群的 $L$ 上等价类的局部平凡结构族 $\mathrm{LAB}^\delta(L)$ 之间的一一对应关系。
• 通过平行移动定义的映射 $f: \mathrm{Coup}(L) \to \mathrm{LAB}^\delta(L)$ 是一个良定义的双射。
• 利用单位分解和局部平凡化构造的逆映射 $g: \mathrm{LAB}^\delta(L) \to \mathrm{Coup}(L)$ 与平凡化和单位分解的选择无关。
• 该对应关系表明，具有纤维 $\mathfrak{g}$ 的传递李代数胚的分类空间 $\mathcal{B}_\mathfrak{g}$ 可几何实现为 $\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})^\delta$-结构的分类空间。
• 通过该对应关系，传递李代数胚的示性类可被范畴化描述，从而可与 Kubarski 的早期结果进行比较。
• 新拓扑 $\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})^\delta$ 对应关系至关重要，因为 $\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})$ 上的标准拓扑无法产生相同的分类结果。